已知线性方程组 的通解为[2,1,0,1]T+k[1,-1,2,0]T.记 αj=[a1j,a2j,a3j,a4j]T,j=1,2,…,5. 问:(1)α4能否由α1,α2,α3,α5线性表出,说明理由. (2)α4能否由α1,α2,α3线性表出,说明理

admin2016-09-19  43

问题 已知线性方程组

的通解为[2,1,0,1]T+k[1,-1,2,0]T.记
αj=[a1j,a2j,a3j,a4j]T,j=1,2,…,5.
问:(1)α4能否由α1,α2,α3,α5线性表出,说明理由.
(2)α4能否由α1,α2,α3线性表出,说明理由.

选项

答案(1)α4能由α1,α2,α3,α5线性表出. 由线性非齐次方程组的通解[2,1,0,1]T+k[1,-1,2,0]T知 α5=(k+2)α1+(-k+1)α2+2kα34, 故 α4=-(k+2)α1-(-k+1)α2-2kα35. (2)α4不能由α1,α2,α3线性表出,因对应齐次方程组的基础解系只有一个非零向量,故r(α1,α2,α3,α4)=r(α1,α2,α3,α4,α5)=4-1=3,且由对应齐次方程组的通解知,α1-α2+2α3=0,即α1,α2,α3线性相关,r(α1,α2,α3)<3,若α4能由α1,α2,α3线性表出,则r(α4,α1,α2,α3)=r(α1,α2,α3)<3,这和r(α1,α2,α3,α4)=3矛盾,故α4不能由α1,α2,α3线性表出.

解析
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