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  3. 设f(x)可导，f’(x)单调减少，且f(0)＝0，则当x∈(0，1)时，正确的是( )

设f(x)可导，f’(x)单调减少，且f(0)＝0，则当x∈(0，1)时，正确的是( )

admin2022-06-09  31
问题 设f(x)可导，f’(x)单调减少，且f(0)＝0，则当x∈(0，1)时，正确的是(          )
选项 A、f(x)/x＞f’(0)
B、f(x)/x＜f(1)
C、f(1)＜f(x)/x＜f(0)
D、f’(0)＜f(x)/x＜f(0)
答案C
解析 当x∈(0，1)时，对于C，可变形为
f(1)x＜f(x)＜f’(0)x
令g(x)＝f(z)－f’(0)x，则当x∈(0，1)时，有g’(x)＝f’(x)－f’(0)＜0  (因为f’(x)单调减少)，故g(x)在(0，1)内单调减少，又由于g(0)＝0，所以当x∈(0，1)时，有g(x)＜g(0)＝0，即f(x)＜f’(0)x
令h’(x)＝f(x)/x，则只需证当x∈(0，1)时，有f(x)/x＞f(1)/1
由于

其中ξ介于0与x之间，当x∈(0，1)时，由f’(x)单调减少，可知h’(x)＜0，所以h(x)
在(0，1)内单调减少，从而当x∈(0，1)时，有
h(x)＝f(x)/x＞h(1)＝f(1)/1
故f(1)x＜f(x)
综上所述，当x∈(0，1)时，f(1)x＜f(x)＜f’(0)x，C正确
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考研数学二

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