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设f(x)可导,f’(x)单调减少,且f(0)=0,则当x∈(0,1)时,正确的是( )
设f(x)可导,f’(x)单调减少,且f(0)=0,则当x∈(0,1)时,正确的是( )
admin
2022-06-09
45
问题
设f(x)可导,f’(x)单调减少,且f(0)=0,则当x∈(0,1)时,正确的是( )
选项
A、f(x)/x>f’(0)
B、f(x)/x<f(1)
C、f(1)<f(x)/x<f(0)
D、f’(0)<f(x)/x<f(0)
答案
C
解析
当x∈(0,1)时,对于C,可变形为
f(1)x<f(x)<f’(0)x
令g(x)=f(z)-f’(0)x,则当x∈(0,1)时,有g’(x)=f’(x)-f’(0)<0 (因为f’(x)单调减少),故g(x)在(0,1)内单调减少,又由于g(0)=0,所以当x∈(0,1)时,有g(x)<g(0)=0,即f(x)<f’(0)x
令h’(x)=f(x)/x,则只需证当x∈(0,1)时,有f(x)/x>f(1)/1
由于
其中ξ介于0与x之间,当x∈(0,1)时,由f’(x)单调减少,可知h’(x)<0,所以h(x)
在(0,1)内单调减少,从而当x∈(0,1)时,有
h(x)=f(x)/x>h(1)=f(1)/1
故f(1)x<f(x)
综上所述,当x∈(0,1)时,f(1)x<f(x)<f’(0)x,C正确
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考研数学二
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