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[2011年] 一容器的内侧是由图1.3.5.1 4中曲线绕y轴旋转一周而成的曲面,该曲面由x2+y2=2y(y≥1/2)与x2+y2=1(y≤1/2)连接而成. 若将容器内盛满的水从容器顶点全部抽出至少需要做多少功?(长度单位为m,重力加速度为g
[2011年] 一容器的内侧是由图1.3.5.1 4中曲线绕y轴旋转一周而成的曲面,该曲面由x2+y2=2y(y≥1/2)与x2+y2=1(y≤1/2)连接而成. 若将容器内盛满的水从容器顶点全部抽出至少需要做多少功?(长度单位为m,重力加速度为g
admin
2019-04-17
75
问题
[2011年] 一容器的内侧是由图1.3.5.1 4中曲线绕y轴旋转一周而成的曲面,该曲面由x
2
+y
2
=2y(y≥1/2)与x
2
+y
2
=1(y≤1/2)连接而成.
若将容器内盛满的水从容器顶点全部抽出至少需要做多少功?(长度单位为m,重力加速度为g m/s
2
,水的密度为10
3
kg/m
3
.)
选项
答案
如图1.3.5.15所示, [*] 以y为积分变量,则y的变化范围是[一1,2],相应于[一1,2]上的任一小区间[y,y+ay]的一层薄水可近似看作高为dy,底面积分别为πx
2
的一个圆柱体,得到该积分水的体积微元为πx
2
dy,水的密度为ρ=10
3
,其重力为ρgπx
2
dy,把这部分水抽出容器所移动的距离为2一y,因此微功元dW为 dW=πρgx
2
dy·(2一y)=πρg(2一y)x
2
dy. 当一1≤y≤1/2时,dW=πρg(2一y)(1一y
2
)dy(因x
2
+y
2
=1). 当1/2≤y≤2时,dW=πρg(2一y)(2y—y
2
)dy(因x
2
+y
2
=2y). 综上所述,所求的功为 W=∫
1/2
+2
dW+∫
1/2
+2
dW=πρg∫
1/2
+2
(2一y)(1一y
2
)dy+πρg∫
1/2
+2
(2一y)(2y—y
2
)dy =πpg(2y一[*])∣
1/2
+2
+πρg(2y
2
一[*])∣
1/2
+2
=[*]πg(J).
解析
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考研数学二
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