[2011年] 一容器的内侧是由图1.3.5.1 4中曲线绕y轴旋转一周而成的曲面,该曲面由x2+y2=2y(y≥1/2)与x2+y2=1(y≤1/2)连接而成. 若将容器内盛满的水从容器顶点全部抽出至少需要做多少功?(长度单位为m,重力加速度为g

admin2019-04-17  56

问题 [2011年]  一容器的内侧是由图1.3.5.1 4中曲线绕y轴旋转一周而成的曲面,该曲面由x2+y2=2y(y≥1/2)与x2+y2=1(y≤1/2)连接而成.

若将容器内盛满的水从容器顶点全部抽出至少需要做多少功?(长度单位为m,重力加速度为g m/s2,水的密度为103kg/m3.)

选项

答案如图1.3.5.15所示, [*] 以y为积分变量,则y的变化范围是[一1,2],相应于[一1,2]上的任一小区间[y,y+ay]的一层薄水可近似看作高为dy,底面积分别为πx2的一个圆柱体,得到该积分水的体积微元为πx2dy,水的密度为ρ=103,其重力为ρgπx2dy,把这部分水抽出容器所移动的距离为2一y,因此微功元dW为 dW=πρgx2dy·(2一y)=πρg(2一y)x2dy. 当一1≤y≤1/2时,dW=πρg(2一y)(1一y2)dy(因x2+y2=1). 当1/2≤y≤2时,dW=πρg(2一y)(2y—y2)dy(因x2+y2=2y). 综上所述,所求的功为 W=∫1/2+2dW+∫1/2+2dW=πρg∫1/2+2(2一y)(1一y2)dy+πρg∫1/2+2(2一y)(2y—y2)dy =πpg(2y一[*])∣1/2+2+πρg(2y2一[*])∣1/2+2 =[*]πg(J).

解析
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