2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]上二阶可导，且|f"(x)|≤1(x∈[0，1])，又f(0)=f(1)，证明：|f’(x)|≤1／2(x∈[0，1])．

设f(x)在[0，1]上二阶可导，且|f"(x)|≤1(x∈[0，1])，又f(0)=f(1)，证明：|f’(x)|≤1／2(x∈[0，1])．

admin2018-05-21  64
问题 设f(x)在[0，1]上二阶可导，且|f"(x)|≤1(x∈[0，1])，又f(0)=f(1)，证明：|f’(x)|≤1／2(x∈[0，1])．
选项
答案由泰勒公式得 f(0)=f(x)－f’(x)x+[*]f"(ξ1)x2，ξ1∈(0，x)， f(1)=f(x)+f’(x)(1－x)+[*]f"(ξ2)(1－x)2，ξ2∈(x，1)， 两式相减，得f’(x)=1／2f"(ξ1)x2－[*]f"(ξ2)(1－x)2． 两边取绝对值，再由|f"(x)|≤1，得 |f’(x)|≤1／2[x2+(1－x)2]=(x－[*]≤1／2．
解析
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考研数学一

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