设f(x)在[a，b]上有连续的导数，证明｜∫abf(x)dx｜+∫ab｜f’(x)｜dx．

admin2016-01-15 64

问题设f(x)在[a，b]上有连续的导数，证明

｜∫_a^bf(x)dx｜+∫_a^b｜f’(x)｜dx．

选项

答案可设[*]｜f(x)｜=｜f(x)｜，即证 (b一a)｜f(x₀)｜≤｜∫_a^bf(x)｜+(b一a)∫_a^b｜f’(x)｜dx，即｜∫_a^bf(x₀)dx｜—｜∫_a^bf(x)dx｜≤(b—a)∫_a^b｜f’(x)｜dx．事实上，｜∫_a^bf(x₀)dx｜—｜∫_a^bf(x)dx｜≤｜∫_a^b[f(x₀)—f(x)]dx｜ =｜∫_a^b[[*](t)dt]dx｜≤∫_a^b[∫_a^b｜f’(t)｜dt]dx =(b一a)∫_a^b｜f’(x)｜dx．故得证．

解析

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