设f(x)在x=a处n(n≥2)阶可导，且当x→a时f(x)是x→a的凡阶无穷小，求证：f(x)的导函数f′(x)当x→a时是x－a的n－1阶无穷小．

admin2016-10-26 111

问题设f(x)在x=a处n(n≥2)阶可导，且当x→a时f(x)是x→a的凡阶无穷小，求证：f(x)的导函数f′(x)当x→a时是x－a的n－1阶无穷小．

选项

答案f(x)在x=a可展成 f(x)=f(a)+f′(a)(x一a)+[*]f″(a)(x一a)2+…+[*]f⁽ⁿ⁾(a)(x一a)ⁿ+o((x一a)ⁿ)(x→a)．由x→a时f(x)是(x→a)的n阶无穷小[*] f(a)=f′(a)=…=f^(n－1)(a)=0，f⁽ⁿ⁾(a)≠0．由g(x)=f′(x)在x=a处n一1阶可导[*] [*] 因此f′(x)是x－a的n－1阶无穷小(x→a)．

解析

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考研数学一

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