设f(x)在x=a处n(n≥2)阶可导,且当x→a时f(x)是x→a的凡阶无穷小,求证:f(x)的导函数f′(x)当x→a时是x-a的n-1阶无穷小.

admin2016-10-26  52

问题 设f(x)在x=a处n(n≥2)阶可导,且当x→a时f(x)是x→a的凡阶无穷小,求证:f(x)的导函数f′(x)当x→a时是x-a的n-1阶无穷小.

选项

答案f(x)在x=a可展成 f(x)=f(a)+f′(a)(x一a)+[*]f″(a)(x一a)2+…+[*]f(n)(a)(x一a)n+o((x一a)n)(x→a). 由x→a时f(x)是(x→a)的n阶无穷小[*] f(a)=f′(a)=…=f(n-1)(a)=0,f(n)(a)≠0. 由g(x)=f′(x)在x=a处n一1阶可导[*] [*] 因此f′(x)是x-a的n-1阶无穷小(x→a).

解析
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