设对称矩阵A满足A3+A2+A=3E，则A=_______．

admin2020-09-25 84

问题设对称矩阵A满足A³+A²+A=3E，则A=_______．

选项

答案E

解析设A的特征值为λ，则由A³+A²+A=3E得λ³+λ²+λ=3，
  即λ³+λ²+λ一3=0．因式分解得(λ一1)(λ²+2λ+3)=0，
  因为λ应为实数，且λ²+2λ+3===(λ+1)²+2＞0，由此A只有一个特征值是1．因为对称矩阵
  都可对角化，所以存在可逆阵P，使P^-1AP=E，于是A=E．故填E.

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