设向量α1，α2，…，αt是齐次线性方程组．AX=0的一个基础解系，向量β不是AX=0的解，即Aβ≠0．试证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．

admin2019-03-22 44

问题设向量α₁，α₂，…，α_t是齐次线性方程组．AX=0的一个基础解系，向量β不是AX=0的解，即Aβ≠0．试证明：向量组β，β+α₁，β+α₂，…，β+α_t线性无关．

选项

答案证一设有一组数k₁，k₂，k₃，…，kα_t，使得[*]即 [*] 因已知Aβ≠0，为利用此条件，用A左乘上式两边得 [*] 因为Aβ≠0，所以 [*] 下面利用向量组α₁，α₂，…，α_t的线性无关性证明待证的向量组线性无关．由式①和式②得到 [*] 由于α₁，α₂，…，α_t是AX=0的一个基础解系，故该向量组线性无关，必有k₁=k₂=…=k_t=0，于是[*]因此，向量组β，β+α₁，β+α₂，…，β+α_t线性无关．证二下面用向量组秩的性质证明．因向量组的秩经初等变换不变，则 [*] 于是秩(β，β+α₁，β+α₂，…，β+α_t])=秩(β，α₁，α₂，…，α_t])．因α₁，α₂，α_t为AX=0的基础解系，故线性无关．而β又不能由α₁，α₂，…，α_t线性表出．事实上，如果β=k₁α₁+…+k₁α_t，则 Aβ=A(k₁α₁+k₂α₂+…+k_tα_t)=k₁α₁+k₂Aα₂+…+k_tAα_t=0．这与Aβ≠0矛盾，故β不能由α₁，α₂，…，α_t线性表出．所以α₁，α₂，…，α_t，β线性无关，即向量组β，β+α₁，β+α₂，…，β+α_t线性无关．

解析

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考研数学三

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设向量α1，α2，…，αt是齐次线性方程组．AX=0的一个基础解系，向量β不是AX=0的解，即Aβ≠0．试证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．

考研数学三

微分方程满足初始条件Y（1）=1的特解是y=________。

设幂级数anxn在（一∞，+∞）内收敛，其和函数y（x）满足y"一2xy’一4y=0，y（0）=0，y’（0）=1。（Ⅰ）证明：an+2=an，n=1，2，…；（Ⅱ）求y（x）的表达式。

设f（x）在（一∞，+∞）内有定义，且对于任意x与y均有f（x+y）=f（x）ey+f（y）ex，又设f’（0）存在且等于a（a≠0），试证明对任意x，f’（x）都存在，并求f（x）。

设三阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=一2，α1=（1，一1，1）T是A的属于特征值λ1的一个特征向量，记B=A5一4A3+E，其中E为三阶单位矩阵。（Ⅰ）验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；（Ⅱ）求矩阵B。

设f(x)二阶可导，且∫0xf(t)dt＋∫0xtf(x－t)dt＝x＋1，求f(x)．

改变积分次序并计算．

改变积分次序f(x,y)dx＋f(x，y)dx．

(Ⅰ)叙述二元函数z=f(x，y)在点(x0，y0)处可微及微分的定义；(Ⅱ)证明下述可微的必要条件定理：设z=f(x，y)在点(x0，y0)处可微，则f’x(x0，y0)与f’y(x0，y0)都存在，且=f’x(x0，y0)△x+f’y(x0，y0)

设A=。(Ⅰ)计算行列式｜A｜；(Ⅱ)当实数a为何值时，方程组Ax=β有无穷多解，并求其通解。

设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组AkX=0有解向量α，且Ak－1α≠0，证明：向量组α，Aα，…，Ak－1α线性无关．

下列叙述错误的是()。

信息的传播者和接受者是合为一体的，并且表现为矛盾统一体的传播层次是（　　）。

对慢性癌痛患者止痛首选给药途径是

病室湿度的作用及要求包括

一般情况下，地陪不应保留旅游团的旅行证件，但若需要，可向旅游者收取。()

政府在开展一个关于政府工作作风的评议活动，现在需要对群众在评议活动中所反映的情况进行调研。领导把这个任务交给你，你会怎么做？

沙漠对于()相当于疾病对于()

Theteachertoldthestudentstostayintheclassroomandtheydid______.

设向量α1，α2，…，αt是齐次线性方程组．AX=0的一个基础解系，向量β不是AX=0的解，即Aβ≠0．试证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．

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微分方程满足初始条件Y（1）=1的特解是y=________。

设幂级数anxn在（一∞，+∞）内收敛，其和函数y（x）满足y"一2xy’一4y=0，y（0）=0，y’（0）=1。（Ⅰ）证明：an+2=an，n=1，2，…；（Ⅱ）求y（x）的表达式。

设f（x）在（一∞，+∞）内有定义，且对于任意x与y均有f（x+y）=f（x）ey+f（y）ex，又设f’（0）存在且等于a（a≠0），试证明对任意x，f’（x）都存在，并求f（x）。

设三阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=一2，α1=（1，一1，1）T是A的属于特征值λ1的一个特征向量，记B=A5一4A3+E，其中E为三阶单位矩阵。（Ⅰ）验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；（Ⅱ）求矩阵B。

设f(x)二阶可导，且∫0xf(t)dt＋∫0xtf(x－t)dt＝x＋1，求f(x)．

改变积分次序并计算．

改变积分次序f(x,y)dx＋f(x，y)dx．

(Ⅰ)叙述二元函数z=f(x，y)在点(x0，y0)处可微及微分的定义；(Ⅱ)证明下述可微的必要条件定理：设z=f(x，y)在点(x0，y0)处可微，则f’x(x0，y0)与f’y(x0，y0)都存在，且=f’x(x0，y0)△x+f’y(x0，y0)

设A=。(Ⅰ)计算行列式｜A｜；(Ⅱ)当实数a为何值时，方程组Ax=β有无穷多解，并求其通解。

设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组AkX=0有解向量α，且Ak－1α≠0，证明：向量组α，Aα，…，Ak－1α线性无关．

下列叙述错误的是()。

信息的传播者和接受者是合为一体的，并且表现为矛盾统一体的传播层次是（ ）。

对慢性癌痛患者止痛首选给药途径是

病室湿度的作用及要求包括

一般情况下，地陪不应保留旅游团的旅行证件，但若需要，可向旅游者收取。()

政府在开展一个关于政府工作作风的评议活动，现在需要对群众在评议活动中所反映的情况进行调研。领导把这个任务交给你，你会怎么做？

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信息的传播者和接受者是合为一体的，并且表现为矛盾统一体的传播层次是（　　）。