设向量α1，α2，…，αt是齐次线性方程组．AX=0的一个基础解系，向量β不是AX=0的解，即Aβ≠0．试证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．

admin2019-03-22 110

问题设向量α₁，α₂，…，α_t是齐次线性方程组．AX=0的一个基础解系，向量β不是AX=0的解，即Aβ≠0．试证明：向量组β，β+α₁，β+α₂，…，β+α_t线性无关．

选项

答案证一设有一组数k₁，k₂，k₃，…，kα_t，使得[*]即 [*] 因已知Aβ≠0，为利用此条件，用A左乘上式两边得 [*] 因为Aβ≠0，所以 [*] 下面利用向量组α₁，α₂，…，α_t的线性无关性证明待证的向量组线性无关．由式①和式②得到 [*] 由于α₁，α₂，…，α_t是AX=0的一个基础解系，故该向量组线性无关，必有k₁=k₂=…=k_t=0，于是[*]因此，向量组β，β+α₁，β+α₂，…，β+α_t线性无关．证二下面用向量组秩的性质证明．因向量组的秩经初等变换不变，则 [*] 于是秩(β，β+α₁，β+α₂，…，β+α_t])=秩(β，α₁，α₂，…，α_t])．因α₁，α₂，α_t为AX=0的基础解系，故线性无关．而β又不能由α₁，α₂，…，α_t线性表出．事实上，如果β=k₁α₁+…+k₁α_t，则 Aβ=A(k₁α₁+k₂α₂+…+k_tα_t)=k₁α₁+k₂Aα₂+…+k_tAα_t=0．这与Aβ≠0矛盾，故β不能由α₁，α₂，…，α_t线性表出．所以α₁，α₂，…，α_t，β线性无关，即向量组β，β+α₁，β+α₂，…，β+α_t线性无关．

解析

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考研数学三

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设向量α1，α2，…，αt是齐次线性方程组．AX=0的一个基础解系，向量β不是AX=0的解，即Aβ≠0．试证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．

考研数学三

设α1，α2，…，αn是一组n维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是任一n维向量都可由它们线性表示。

设矩阵相似，求x，y；并求一个正交矩阵P，使P—1AP=Λ。

若数列{an}收敛，则级数（an+1—an）________。

设f（x），g（x）在[0，1]上的导数连续，且f（0）=0，f’（x）≥0，g’（x）≥0。证明对任何a∈[0，1]，有∫0ag（x）f’（x）dx+∫01f（x）g’（x）dx≥f（a）g（1）。

设A为n阶可逆矩阵，A为A的伴随矩阵，证明：（A）T=（AT）*。

求幂级数的收敛域．

设曲线＝1(0＜a＜4)与x轴、y轴所围成的图形绕x轴旋转所得立体体积为V1(a)，绕y轴旋转所得立体体积为V2(a)，问a为何值时，V1(a)＋V2(a)最大，并求最大值．

两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布。首先开动其中一台，当其发生故障时停用，而另一台自行开动，试求两台记录仪无故障工作的总时间T的概率密度。

设a1＝1，当n≥1时，an＋1＝，证明：数列{an}收敛并求其极限．

假设总体X在非负整数集{0，1，2，…，k}上等可能取值，k为未知参数，x1，x2，…，xn为来自总体X的简单随机样本值，则k的最大似然估计值为()

香港居民绝大多数为华人，大部分原籍广东。()

男，16岁，今日突发呼吸困难，发作前有鼻痒、喷嚏、流涕、干咳。体检：血压正常、端坐呼吸、额部出汗，双肺有哮鸣音．心率110次／分。律齐，无杂音。下列哪种诊断正确

当维生素摄入过多，超过生理量时，以下的说法不正确的是

下尹1哪项不是三棱针的操作方法

房地产估价的合法原则，就是要求房地产价格评估机构及房地产估价人员必须具备合法的评估资格，否则不得进行房地产估价活动。()

深交所某只上市股票某日最后一笔成交发生在14:59:30，成交价格为10.00元，成交量为5000股。在14:58:30至14:59:30之间还有另外两笔成交，分别为9.80元、2000股；9.85元、2000股，则该只股票的收盘价为(　　)元。

圆柱面的轴线是L：，点P0(1，－1，0)是圆柱面上一点，求圆柱面方程．

Themajorityofnursesarewomen,butinthehigherranksofthemedicalprofessionwomenareina_____.

Accordingtothecontext,"flowersorcandy,moonlightwalks,lingeringgood-byes"aretoindicate______.Accordingtothecon

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