设向量α1，α2，…，αt是齐次线性方程组．AX=0的一个基础解系，向量β不是AX=0的解，即Aβ≠0．试证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．

admin2019-03-22 83

问题设向量α₁，α₂，…，α_t是齐次线性方程组．AX=0的一个基础解系，向量β不是AX=0的解，即Aβ≠0．试证明：向量组β，β+α₁，β+α₂，…，β+α_t线性无关．

选项

答案证一设有一组数k₁，k₂，k₃，…，kα_t，使得[*]即 [*] 因已知Aβ≠0，为利用此条件，用A左乘上式两边得 [*] 因为Aβ≠0，所以 [*] 下面利用向量组α₁，α₂，…，α_t的线性无关性证明待证的向量组线性无关．由式①和式②得到 [*] 由于α₁，α₂，…，α_t是AX=0的一个基础解系，故该向量组线性无关，必有k₁=k₂=…=k_t=0，于是[*]因此，向量组β，β+α₁，β+α₂，…，β+α_t线性无关．证二下面用向量组秩的性质证明．因向量组的秩经初等变换不变，则 [*] 于是秩(β，β+α₁，β+α₂，…，β+α_t])=秩(β，α₁，α₂，…，α_t])．因α₁，α₂，α_t为AX=0的基础解系，故线性无关．而β又不能由α₁，α₂，…，α_t线性表出．事实上，如果β=k₁α₁+…+k₁α_t，则 Aβ=A(k₁α₁+k₂α₂+…+k_tα_t)=k₁α₁+k₂Aα₂+…+k_tAα_t=0．这与Aβ≠0矛盾，故β不能由α₁，α₂，…，α_t线性表出．所以α₁，α₂，…，α_t，β线性无关，即向量组β，β+α₁，β+α₂，…，β+α_t线性无关．

解析

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考研数学三

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设向量α1，α2，…，αt是齐次线性方程组．AX=0的一个基础解系，向量β不是AX=0的解，即Aβ≠0．试证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．

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