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设向量α1，α2，…，αt是齐次线性方程组．AX=0的一个基础解系，向量β不是AX=0的解，即Aβ≠0．试证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．
设向量α1，α2，…，αt是齐次线性方程组．AX=0的一个基础解系，向量β不是AX=0的解，即Aβ≠0．试证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．
admin
2019-03-22
72
问题
设向量α
1
，α
2
，…，α
t
是齐次线性方程组．AX=0的一个基础解系，向量β不是AX=0的解，即Aβ≠0．试证明：向量组β，β+α
1
，β+α
2
，…，β+α
t
线性无关．
选项
答案
证一 设有一组数k
1
，k
2
，k
3
，…，kα
t
，使得[*]即 [*] 因已知Aβ≠0，为利用此条件，用A左乘上式两边得 [*] 因为Aβ≠0，所以 [*] 下面利用向量组α
1
，α
2
，…，α
t
的线性无关性证明待证的向量组线性无关．由式①和式②得到 [*] 由于α
1
，α
2
，…，α
t
是AX=0的一个基础解系，故该向量组线性无关，必有k
1
=k
2
=…=k
t
=0， 于是[*]因此，向量组β，β+α
1
，β+α
2
，…，β+α
t
线性无关． 证二 下面用向量组秩的性质证明．因向量组的秩经初等变换不变，则 [*] 于是 秩(β，β+α
1
，β+α
2
，…，β+α
t
])=秩(β，α
1
，α
2
，…，α
t
])． 因α
1
，α
2
，α
t
为AX=0的基础解系，故线性无关．而β又不能由α
1
，α
2
，…，α
t
线性表出．事实上，如果β=k
1
α
1
+…+k
1
α
t
，则 Aβ=A(k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
t
α
t
)=k
1
α
1
+k
2
Aα
2
+…+k
t
Aα
t
=0． 这与Aβ≠0矛盾，故β不能由α
1
，α
2
，…，α
t
线性表出．所以α
1
，α
2
，…，α
t
，β线性无关，即向量组β，β+α
1
，β+α
2
，…，β+α
t
线性无关．
解析
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考研数学三
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