2. 考研
  3. 设向量α1，α2，…，αt是齐次线性方程组．AX=0的一个基础解系，向量β不是AX=0的解，即Aβ≠0．试证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．

设向量α1，α2，…，αt是齐次线性方程组．AX=0的一个基础解系，向量β不是AX=0的解，即Aβ≠0．试证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．

admin2019-03-22  106
问题 设向量α1，α2，…，αt是齐次线性方程组．AX=0的一个基础解系，向量β不是AX=0的解，即Aβ≠0．试证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．
选项
答案证一 设有一组数k1，k2，k3，…，kαt，使得[*]即 [*] 因已知Aβ≠0，为利用此条件，用A左乘上式两边得 [*] 因为Aβ≠0，所以 [*] 下面利用向量组α1，α2，…，αt的线性无关性证明待证的向量组线性无关．由式①和式②得到 [*] 由于α1，α2，…，αt是AX=0的一个基础解系，故该向量组线性无关，必有k1=k2=…=kt=0， 于是[*]因此，向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关． 证二 下面用向量组秩的性质证明．因向量组的秩经初等变换不变，则 [*] 于是 秩(β，β+α1，β+α2，…，β+αt])=秩(β，α1，α2，…，αt])． 因α1，α2，αt为AX=0的基础解系，故线性无关．而β又不能由α1，α2，…，αt线性表出．事实上，如果β=k1α1+…+k1αt，则 Aβ=A(k1α1+k2α2+…+ktαt)=k1α1+k2Aα2+…+ktAαt=0． 这与Aβ≠0矛盾，故β不能由α1，α2，…，αt线性表出．所以α1，α2，…，αt，β线性无关，即向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．
解析
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考研数学三

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