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设向量α1,α2,…,αt是齐次线性方程组.AX=0的一个基础解系,向量β不是AX=0的解,即Aβ≠0.试证明:向量组β,β+α1,β+α2,…,β+αt线性无关.
设向量α1,α2,…,αt是齐次线性方程组.AX=0的一个基础解系,向量β不是AX=0的解,即Aβ≠0.试证明:向量组β,β+α1,β+α2,…,β+αt线性无关.
admin
2019-03-22
106
问题
设向量α
1
,α
2
,…,α
t
是齐次线性方程组.AX=0的一个基础解系,向量β不是AX=0的解,即Aβ≠0.试证明:向量组β,β+α
1
,β+α
2
,…,β+α
t
线性无关.
选项
答案
证一 设有一组数k
1
,k
2
,k
3
,…,kα
t
,使得[*]即 [*] 因已知Aβ≠0,为利用此条件,用A左乘上式两边得 [*] 因为Aβ≠0,所以 [*] 下面利用向量组α
1
,α
2
,…,α
t
的线性无关性证明待证的向量组线性无关.由式①和式②得到 [*] 由于α
1
,α
2
,…,α
t
是AX=0的一个基础解系,故该向量组线性无关,必有k
1
=k
2
=…=k
t
=0, 于是[*]因此,向量组β,β+α
1
,β+α
2
,…,β+α
t
线性无关. 证二 下面用向量组秩的性质证明.因向量组的秩经初等变换不变,则 [*] 于是 秩(β,β+α
1
,β+α
2
,…,β+α
t
])=秩(β,α
1
,α
2
,…,α
t
]). 因α
1
,α
2
,α
t
为AX=0的基础解系,故线性无关.而β又不能由α
1
,α
2
,…,α
t
线性表出.事实上,如果β=k
1
α
1
+…+k
1
α
t
,则 Aβ=A(k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
t
α
t
)=k
1
α
1
+k
2
Aα
2
+…+k
t
Aα
t
=0. 这与Aβ≠0矛盾,故β不能由α
1
,α
2
,…,α
t
线性表出.所以α
1
,α
2
,…,α
t
,β线性无关,即向量组β,β+α
1
,β+α
2
,…,β+α
t
线性无关.
解析
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考研数学三
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