设 (1)求y(0),yˊ(0),并证明:(1-x2)yˊˊ-xyˊ=4; (2)求的和函数及级数的值.

admin2016-09-13  57

问题
(1)求y(0),yˊ(0),并证明:(1-x2)yˊˊ-xyˊ=4;
(2)求的和函数及级数的值.

选项

答案(1)由y(x)=[*](2x)2n,得y(0)=0; 又yˊ(x)=[*],于是yˊ(0)=0, yˊˊ(x)=[*] 以下证明微分方程成立: [*] (2)下面求解微分方程(1-x2)yˊˊ-xyˊ=4. 首先,应该可以想到本题用“二阶可降阶”的方法,令yˊ=p,考生可以自练.但是本题更好的做法如下: 微分方程两边同乘以[*](想想看这个[*]是怎么推导出来的),则有 [*] 于是有 [*]=4arcsinx+C. 根据yˊ(0)=0=>C=0,即[*]两边再积分,得 [*]=2arcsin2x+C, 故y(x)=2arcsin2x+C. [*]

解析
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