设A为m阶实对称矩阵且正定，BT为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵，试证： BTAB为正定矩阵的充分必要条件是r(B)=n。

admin2018-02-07 47

问题设A为m阶实对称矩阵且正定，B^T为m×n实矩阵，B^T为B的转置矩阵，试证：
B^TAB为正定矩阵的充分必要条件是r(B)=n。

选项

答案必要性：设B^TAB为正定矩阵，则r(B^TAB)=n，因为r(B^TAB)≤r(B)≤n，故有r(B)=n。充分性：因(B^TAB)^T=B^TA^T(B^T)^T=B^TAB，故B^TAB为实对称矩阵。若r(B)=n，则线性方程组Bx=0只有零解，从而对任意的n维实列向量x≠0，有Bx≠0。又A为正定矩阵，所以对于Bx≠0，有(Bx)^TA(Bx)＞0。于是当x≠0，有x^T(B^TAB)x=(Bx)^TA(Bx)＞0，故B^TAB为正定矩阵。

解析

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/NTk4777K

考研数学二

相关试题推荐

对离散型情形证明：(1)E(X+Y)=EX+EY．(2)EXY=EXEY
某型号电子元件寿命(单位：h)服从分布N(160，202)，随机抽四件，求其中没有一件寿命小于180h的概率．
用集合的描述法表示下列集合：(1)大于5的所有实数集合(2)方程x2－7x＋12＝0的根的集合(3)圆x2＋y2＝25内部(不包含圆周)一切点的集合(4)抛物线y＝x2与直线x—y=0交点的集合
设,问a，b为何值时，函数F(x)＝f(x)＋g(x)在﹙﹣∞，﹢∞﹚上连续。
证明：函数在(0，0)点连续，fx(0，0)，fy(0，0)存在，但在(0，0)点不可微．
设有函数试分析在点x＝0处，k为何值时，f(x)有极限；k为何值时，f(x)连续；k为何值时，f(x)可导．
设三阶实对称矩阵A的特征值是1，2，3；矩阵A的属于特征值1，2的特征向量分别是α1=(-1，-1，1)T，α2=(1，-2，-1)T．求矩阵A．
设矩阵是矩阵A*的一个特征向量，A是α对应的特征值，其中A*是矩阵A的伴随矩阵．试求a，b和λ的值．
已知实二次型f(x1，x2，x3)=a(x12，x22，x32)+4x1x2+4x1x3+4x2x3经正交变换x=Py可化成标准形f=6y12，则a=_______．
(2009年试题，23)设二次型f(x1，x2，x3)=ax12+ax22+(a一1)x32+2x1x3一2x2x3．(I)求二次型f的矩阵的所有特征值；(Ⅱ)若二次型f的规范形为y12+y22，求a的值．

随机试题

Brandsarebasicallyapromise.Theytellconsumerswhatqualitytoexpectfroma【C1】________andshowoffitspersonality.Firms
患者，女，40岁。右侧乳腺癌改良根治术后第2天，患者左臂轻微肿胀，下列处理措施中不妥的是
牙齿Ⅱ度松动是指()
患者腹大坚满，胸脘痞闷，烦热口苦，身目发黄，小便短赤，大便干结，舌红苔黄腻，脉弦数。其证型是
液化石油气密度ρ=2.35kg/m3，相对密度S=1.82，均使用钢管，用公式法进行水力计算，则单位长度管道压力降为()Pa/m(低压输送Q0=10m3/h，管道长度L=80m，管道内径d=5cm)。
在《担保法》规定的五种担保方式中，既允许债务人用自己的财产也可以用第三人财产向债权人提供担保的方式有(　　)。
(2005年考试真题)在个人所得税征管中，对财产租赁所得一次收入畸高的，可以实行加成征收。()
在中国拥有对外决策权力的有()。
如果之后五年与2018年同比增长量保持一致，那么到（）年，甲市规模以上工业企业钢的产量将首次突破3500万吨。
Doyoualwaysunderstandthedirectionsonabottleofmedicine?Doyouknowwhatismeantby"Takeonlyasdirected"?Readthe

最新回复(0)

设A为m阶实对称矩阵且正定，BT为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵，试证： BTAB为正定矩阵的充分必要条件是r(B)=n。

考研数学二

对离散型情形证明：(1)E(X+Y)=EX+EY．(2)EXY=EXEY

某型号电子元件寿命(单位：h)服从分布N(160，202)，随机抽四件，求其中没有一件寿命小于180h的概率．

用集合的描述法表示下列集合：(1)大于5的所有实数集合(2)方程x2－7x＋12＝0的根的集合(3)圆x2＋y2＝25内部(不包含圆周)一切点的集合(4)抛物线y＝x2与直线x—y=0交点的集合

设,问a，b为何值时，函数F(x)＝f(x)＋g(x)在﹙﹣∞，﹢∞﹚上连续。

证明：函数在(0，0)点连续，fx(0，0)，fy(0，0)存在，但在(0，0)点不可微．

设有函数试分析在点x＝0处，k为何值时，f(x)有极限；k为何值时，f(x)连续；k为何值时，f(x)可导．

设三阶实对称矩阵A的特征值是1，2，3；矩阵A的属于特征值1，2的特征向量分别是α1=(-1，-1，1)T，α2=(1，-2，-1)T．求矩阵A．

设矩阵是矩阵A*的一个特征向量，A是α对应的特征值，其中A*是矩阵A的伴随矩阵．试求a，b和λ的值．

已知实二次型f(x1，x2，x3)=a(x12，x22，x32)+4x1x2+4x1x3+4x2x3经正交变换x=Py可化成标准形f=6y12，则a=_______．

(2009年试题，23)设二次型f(x1，x2，x3)=ax12+ax22+(a一1)x32+2x1x3一2x2x3．(I)求二次型f的矩阵的所有特征值；(Ⅱ)若二次型f的规范形为y12+y22，求a的值．

Brandsarebasicallyapromise.Theytellconsumerswhatqualitytoexpectfroma【C1】________andshowoffitspersonality.Firms

患者，女，40岁。右侧乳腺癌改良根治术后第2天，患者左臂轻微肿胀，下列处理措施中不妥的是

牙齿Ⅱ度松动是指()

患者腹大坚满，胸脘痞闷，烦热口苦，身目发黄，小便短赤，大便干结，舌红苔黄腻，脉弦数。其证型是

液化石油气密度ρ=2.35kg/m3，相对密度S=1.82，均使用钢管，用公式法进行水力计算，则单位长度管道压力降为()Pa/m(低压输送Q0=10m3/h，管道长度L=80m，管道内径d=5cm)。

在《担保法》规定的五种担保方式中，既允许债务人用自己的财产也可以用第三人财产向债权人提供担保的方式有( )。

(2005年考试真题)在个人所得税征管中，对财产租赁所得一次收入畸高的，可以实行加成征收。()

在中国拥有对外决策权力的有()。

如果之后五年与2018年同比增长量保持一致，那么到（）年，甲市规模以上工业企业钢的产量将首次突破3500万吨。

Doyoualwaysunderstandthedirectionsonabottleofmedicine?Doyouknowwhatismeantby"Takeonlyasdirected"?Readthe

设矩阵是矩阵A的一个特征向量，A是α对应的特征值，其中A是矩阵A的伴随矩阵．试求a，b和λ的值．

在《担保法》规定的五种担保方式中，既允许债务人用自己的财产也可以用第三人财产向债权人提供担保的方式有(　　)。