设函数f(x)在[0,1]上连续且非负,证明:在(0,1)内存在一点ξ,使ξf(ξ)=f(x)dx.

admin2016-11-03  26

问题 设函数f(x)在[0,1]上连续且非负,证明:在(0,1)内存在一点ξ,使ξf(ξ)=f(x)dx.

选项

答案由题设知,显然F(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且F(0)=0,F(1)=0,则F(x)在[0,1]上满足罗尔定理的诸条件.由该定理知,存在一点ξ∈(0,1),使F′(ξ)=0,即 [*] 亦即 [*] 注意 若按照一般辅助函数F(x)的构造方法,自然想到令F(x)=xf(x)一[*]f(t)dt,但此时F(0)=-[*]f(t)dt≤0,F(1)=f(1)一[*]f(t)dt=f(1)≥0,得不到F(x)在[0,1]区间端点处严格异号,因而不能直接使用罗尔定理.

解析 将待证等式改写为xf(x)=f(t)dt,即xf(x)一f(t)dt=0.亦即xf(x)+f(t)dt=[xf(t)dt]′=0,因而构造辅助函数F(x)=xf(t)dt.下只需证明F(x)在[0,1]上满足罗尔定理的条件即可.
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