2. 考研
  3. 设y=y(x)是区间(一π，π)内过的光滑曲线，当一π＜x＜0时，曲线上任一点处的法线都过原点，当0≤x＜π时，函数y(x)满足y’’+y+x=0。求函数y(x)的表达式。

设y=y(x)是区间(一π，π)内过的光滑曲线，当一π＜x＜0时，曲线上任一点处的法线都过原点，当0≤x＜π时，函数y(x)满足y’’+y+x=0。求函数y(x)的表达式。

admin2018-01-30  48
问题 设y=y(x)是区间(一π，π)内过的光滑曲线，当一π＜x＜0时，曲线上任一点处的法线都过原点，当0≤x＜π时，函数y(x)满足y’’+y+x=0。求函数y(x)的表达式。
选项
答案由题意，当一π＜x＜0时，法线均过原点，所以有y=[*]，即ydy=一xdx，得y2=一x2+C。 又[*]，代入y2=一x2+C得C=π2，从而有x2+y2=π2，即y=[*]。 当0≤x＜π时，y’’+y+x=0，得其对应齐次微分方程y’’+y=0的通解为 y*=C1cosx+C2sinx。 设其特解为y1=Ax+B，则有0+Ax+B+x=0，得A=一1，B=0，故y1=一x是方程的特解，因此y’’+y+x=0的通解为 y=C1cosx+C2sinx一x。 因为y=y(x)是(一π，π)内的光滑曲线，故y在x=0处连续且可导，所以由已知得 y｜x=0=π，y｜x=0=0， 故得C1=π，C2=1，所以 [*]
解析
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考研数学二

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