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设y=y(x)是区间(一π,π)内过的光滑曲线,当一π<x<0时,曲线上任一点处的法线都过原点,当0≤x<π时,函数y(x)满足y’’+y+x=0。求函数y(x)的表达式。
设y=y(x)是区间(一π,π)内过的光滑曲线,当一π<x<0时,曲线上任一点处的法线都过原点,当0≤x<π时,函数y(x)满足y’’+y+x=0。求函数y(x)的表达式。
admin
2018-01-30
42
问题
设y=y(x)是区间(一π,π)内过
的光滑曲线,当一π<x<0时,曲线上任一点处的法线都过原点,当0≤x<π时,函数y(x)满足y
’’
+y+x=0。求函数y(x)的表达式。
选项
答案
由题意,当一π<x<0时,法线均过原点,所以有y=[*],即ydy=一xdx,得y
2
=一x
2
+C。 又[*],代入y
2
=一x
2
+C得C=π
2
,从而有x
2
+y
2
=π
2
,即y=[*]。 当0≤x<π时,y
’’
+y+x=0,得其对应齐次微分方程y
’’
+y=0的通解为 y
*
=C
1
cosx+C
2
sinx。 设其特解为y
1
=Ax+B,则有0+Ax+B+x=0,得A=一1,B=0,故y
1
=一x是方程的特解,因此y
’’
+y+x=0的通解为 y=C
1
cosx+C
2
sinx一x。 因为y=y(x)是(一π,π)内的光滑曲线,故y在x=0处连续且可导,所以由已知得 y|
x=0
=π,y|
x=0
=0, 故得C
1
=π,C
2
=1,所以 [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/NUk4777K
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考研数学二
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