n阶矩阵A满足A2－2A－3E=O，证明：A能相似对角化．

admin2022-06-30 35

问题 n阶矩阵A满足A²－2A－3E=O，证明：A能相似对角化．

选项

答案由A²－2A－3E=0得(E+A)(3E－A)=0，则 r(E+A)+r(3E－A)≤n；由r(E+A)+r(3E－A)≥r(4E)=n得r(E+A)+r(3E－A)=n． (1)当r(E+A)=n时，A=3E为对角阵； (2)当r(3E－A)=n时，A=－E为对角矩阵； (3)r(E+A)＜n，r(3E－A)＜n时，｜E+A｜=0，｜3E-A｜=0， A的特征值λ₁=－1，λ₂=3． λ₁＝－1对应的线性无关的特征向量个数为n－r(－E－A)=n－r(E+A)； λ₃=3对应的线性无关的特征向量个数为n－r(3E－A)．因为n－r(E+A)+n－r(3E－A)=n，所以A可相似对角化．

解析

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