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n阶矩阵A满足A2-2A-3E=O,证明:A能相似对角化.
n阶矩阵A满足A2-2A-3E=O,证明:A能相似对角化.
admin
2022-06-30
52
问题
n阶矩阵A满足A
2
-2A-3E=O,证明:A能相似对角化.
选项
答案
由A
2
-2A-3E=0得(E+A)(3E-A)=0,则 r(E+A)+r(3E-A)≤n; 由r(E+A)+r(3E-A)≥r(4E)=n得r(E+A)+r(3E-A)=n. (1)当r(E+A)=n时,A=3E为对角阵; (2)当r(3E-A)=n时,A=-E为对角矩阵; (3)r(E+A)<n,r(3E-A)<n时,|E+A|=0,|3E-A|=0, A的特征值λ
1
=-1,λ
2
=3. λ
1
=-1对应的线性无关的特征向量个数为n-r(-E-A)=n-r(E+A); λ
3
=3对应的线性无关的特征向量个数为n-r(3E-A). 因为n-r(E+A)+n-r(3E-A)=n,所以A可相似对角化.
解析
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考研数学二
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