求函数z=x2y(4-x-y)在由直线x+y=6,x轴和y轴所围成的区域D上的最大值与最小值.

admin2016-10-26  41

问题 求函数z=x2y(4-x-y)在由直线x+y=6,x轴和y轴所围成的区域D上的最大值与最小值.

选项

答案区域D如图8.1所示,它是有界闭区域.z(x,y)在D上连续,所以在D上一定有最大值与最小值,它或在D内的驻点达到,或在D的边界上达到. [*] 为求D内驻点,先求 [*]=2xy(4-x-y)-x2y=xy(8-3x-2y), [*]=x2(4-x-y)-x2y=x2(4-x-2y). 再解方程组[*]得z(x,y)在D内的唯一驻点(x,y)=(2,1)且z(2,1)=4. 在D的边界y=0,0≤x≤6或x=0,0≤y≤6上z(x,y)=0; 在边界x+y=6(0≤x≤6)上将y=6-x代入得z(x,y)=x2(6-x)(-2)=2(x3-6x2),0≤x≤6.令h(x)=2(x3-6x2),则h′(x)=6(x2-4x),h′(4)=0,h(0)=0,h(4)=-64,h(6)=0,即z(x,y)在边界x+y=6(0≤x≤6)上的最大值为0,最小值为-64. 因此,[*]z(x,y)=-64.

解析
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