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  3. 求函数z=x2y(4－x－y)在由直线x+y=6，x轴和y轴所围成的区域D上的最大值与最小值．

求函数z=x2y(4－x－y)在由直线x+y=6，x轴和y轴所围成的区域D上的最大值与最小值．

admin2016-10-26  55
问题 求函数z=x2y(4－x－y)在由直线x+y=6，x轴和y轴所围成的区域D上的最大值与最小值．
选项
答案区域D如图8．1所示，它是有界闭区域．z(x，y)在D上连续，所以在D上一定有最大值与最小值，它或在D内的驻点达到，或在D的边界上达到． [*] 为求D内驻点，先求 [*]=2xy(4－x－y)－x2y=xy(8－3x－2y)， [*]=x2(4－x－y)－x2y=x2(4－x－2y)． 再解方程组[*]得z(x，y)在D内的唯一驻点(x，y)=(2，1)且z(2，1)=4． 在D的边界y=0，0≤x≤6或x=0，0≤y≤6上z(x，y)=0； 在边界x+y=6(0≤x≤6)上将y=6－x代入得z(x，y)=x2(6－x)(－2)=2(x3－6x2)，0≤x≤6．令h(x)=2(x3－6x2)，则h′(x)=6(x2－4x)，h′(4)=0，h(0)=0，h(4)=－64，h(6)=0，即z(x，y)在边界x+y=6(0≤x≤6)上的最大值为0，最小值为－64． 因此，[*]z(x，y)=－64．
解析
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考研数学一

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