2. 考研
  3. (1)设F(x)＝f(-x)，且f(x)有n阶导数，求F(n)(x)； (2)设f(x)＝xe-x，求f(n)(x)．

(1)设F(x)＝f(-x)，且f(x)有n阶导数，求F(n)(x)； (2)设f(x)＝xe-x，求f(n)(x)．

admin2011-12-29  115
问题 (1)设F(x)＝f(-x)，且f(x)有n阶导数，求F(n)(x)；
  (2)设f(x)＝xe-x，求f(n)(x)．
选项
答案解 (1)Fˊ(x)＝-fˊ(-x) F〞(x)＝(－1)2f〞(-x)，…，F(k)(x)＝(-1)k fk(-x) F(k＋1)(x)＝(F(k)(x))ˊ＝((-1)kf(k)(-x))ˊ＝(-1)k+1fk+1(-x) 由数学归纳法证明成立，即F(n)(x)＝(-1)nfn(-x) (2)fˊ(x)＝e-x+e-x(-1)x＝(1－x)e-x＝-(x－1)e-x f〞(x)＝-e-x＋xe-x－e-x＝(-1)2(x－2)e-x f’’’(x)＝(-1)3(x－3)e-x f(k)(x)＝(-1)k(x－k)e-x f(k＋1)(x)＝((-1)k(x－k)e-x)ˊ＝(-1)k[e-x+(x－k)(-e-x)] ＝(-1)k+1(x－(k+1))e-x 由数学归纳法知f(n)(x)＝(-1)n(x－n)e-x
解析
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考研数学一

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