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(1)设F(x)=f(-x),且f(x)有n阶导数,求F(n)(x); (2)设f(x)=xe-x,求f(n)(x).
(1)设F(x)=f(-x),且f(x)有n阶导数,求F(n)(x); (2)设f(x)=xe-x,求f(n)(x).
admin
2011-12-29
113
问题
(1)设F(x)=f(-x),且f(x)有n阶导数,求F
(n)
(x);
(2)设f(x)=xe
-x
,求f
(n)
(x).
选项
答案
解 (1)Fˊ(x)=-fˊ(-x) F〞(x)=(-1)
2
f〞(-x),…,F
(k)
(x)=(-1)
k
f
k
(-x) F
(k+1)
(x)=(F
(k)
(x))ˊ=((-1)
k
f
(k)
(-x))ˊ=(-1)
k+1
f
k+1
(-x) 由数学归纳法证明成立,即F
(n)
(x)=(-1)
n
f
n
(-x) (2)fˊ(x)=e
-x
+e
-x
(-1)x=(1-x)e
-x
=-(x-1)e
-x
f〞(x)=-e
-x
+xe
-x
-e
-x
=(-1)
2
(x-2)e
-x
f’’’(x)=(-1)
3
(x-3)e
-x
f
(k)
(x)=(-1)
k
(x-k)e
-x
f
(k+1)
(x)=((-1)
k
(x-k)e
-x
)ˊ=(-1)
k
[e
-x
+(x-k)(-e
-x
)] =(-1)
k+1
(x-(k+1))e
-x
由数学归纳法知f
(n)
(x)=(-1)
n
(x-n)e
-x
解析
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考研数学一
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