(1)设F(x)＝f(-x)，且f(x)有n阶导数，求F(n)(x)； (2)设f(x)＝xe-x，求f(n)(x)．

admin2011-12-29 84

问题 (1)设F(x)＝f(-x)，且f(x)有n阶导数，求F⁽ⁿ⁾(x)；
(2)设f(x)＝xe^-x，求f⁽ⁿ⁾(x)．

选项

答案解 (1)Fˊ(x)＝-fˊ(-x) F〞(x)＝(－1)²f〞(-x)，…，F^(k)(x)＝(-1)^k f^k(-x) F^(k＋1)(x)＝(F^(k)(x))ˊ＝((-1)^kf^(k)(-x))ˊ＝(-1)^k+1f^k+1(-x) 由数学归纳法证明成立，即F⁽ⁿ⁾(x)＝(-1)ⁿfⁿ(-x) (2)fˊ(x)＝e^-x+e^-x(-1)x＝(1－x)e^-x＝-(x－1)e^-x f〞(x)＝-e^-x＋xe^-x－e^-x＝(-1)²(x－2)e^-x f’’’(x)＝(-1)³(x－3)e^-x f^(k)(x)＝(-1)^k(x－k)e^-x f^(k＋1)(x)＝((-1)^k(x－k)e^-x)ˊ＝(-1)^k[e^-x+(x－k)(-e^-x)] ＝(-1)^k+1(x－(k+1))e^-x 由数学归纳法知f⁽ⁿ⁾(x)＝(-1)ⁿ(x－n)e^-x

解析

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考研数学一

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设函数f(x)连续，ψ(x)＝∫01f(xt)dt，且(A为常数)，求ψ(x)，并讨论ψ’(x)在x＝0处的连续性．
[2001年]设函数y=f(x)由方程e2x+y一cos(xy)=e一1所确定，则曲线y=f(x)在点(0，1)处的法线方程为_________．
设函数y(x)具有二阶导数，且曲线l：y=y(x)与直线Y=x相切于原点．记a为曲线f在点(x,y，)处切线的倾角，若da/dx=dy/dx,求y(x)的表达式．
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[2014年]设f(x)=，x∈[0，1]．定义函数列：f1(x)=f(x)，f2(x)=f(f1(x))，…，fn(x)=f(fn-1(x))，…记Sn是曲线y=fn(x)，直线x=1及x轴所围平面图形的面积，求极限nSn.
(2009年)设非负函数y＝y(χ)(χ≥0)满足微分方程χy〞－y′＋2＝0．当曲线y＝y(χ)过原点时，其与直线χ＝1及y＝0围成的平面区域D的面积为2，求D绕y轴旋转所得旋转体的体积．
位于曲线y=xe－x(0≤x＜+∞)下方，x轴上方的无界图形的面积是_______。
在半径为r的球内嵌入一圆柱，试将圆柱的体积表示为其高的函数，并确定此函数的定义域。
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