(1)设F(x)＝f(-x)，且f(x)有n阶导数，求F(n)(x)； (2)设f(x)＝xe-x，求f(n)(x)．

admin2011-12-29 91

问题 (1)设F(x)＝f(-x)，且f(x)有n阶导数，求F⁽ⁿ⁾(x)；
(2)设f(x)＝xe^-x，求f⁽ⁿ⁾(x)．

选项

答案解 (1)Fˊ(x)＝-fˊ(-x) F〞(x)＝(－1)²f〞(-x)，…，F^(k)(x)＝(-1)^k f^k(-x) F^(k＋1)(x)＝(F^(k)(x))ˊ＝((-1)^kf^(k)(-x))ˊ＝(-1)^k+1f^k+1(-x) 由数学归纳法证明成立，即F⁽ⁿ⁾(x)＝(-1)ⁿfⁿ(-x) (2)fˊ(x)＝e^-x+e^-x(-1)x＝(1－x)e^-x＝-(x－1)e^-x f〞(x)＝-e^-x＋xe^-x－e^-x＝(-1)²(x－2)e^-x f’’’(x)＝(-1)³(x－3)e^-x f^(k)(x)＝(-1)^k(x－k)e^-x f^(k＋1)(x)＝((-1)^k(x－k)e^-x)ˊ＝(-1)^k[e^-x+(x－k)(-e^-x)] ＝(-1)^k+1(x－(k+1))e^-x 由数学归纳法知f⁽ⁿ⁾(x)＝(-1)ⁿ(x－n)e^-x

解析

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