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设f(x)在闭区间[-1,1]上具有三阶连续导数,且f(-1)=0,f(1)=1,f’(0)=0,证明: 在[-1,1]内存在一点ξ,使得f”’(ξ)=3.
设f(x)在闭区间[-1,1]上具有三阶连续导数,且f(-1)=0,f(1)=1,f’(0)=0,证明: 在[-1,1]内存在一点ξ,使得f”’(ξ)=3.
admin
2021-07-15
85
问题
设f(x)在闭区间[-1,1]上具有三阶连续导数,且f(-1)=0,f(1)=1,f’(0)=0,证明:
在[-1,1]内存在一点ξ,使得f”’(ξ)=3.
选项
答案
f(x)=f(x
0
)+f’(x
0
)(x-x
0
)+[*]f"(x
0
)(x-x
0
)
2
+[*]f"’(η)(x-x
0
)
3
取x
0
=0,x=1代入得 f(1)=f(0)+[*]f"(0)(1-0)
2
+[*]f"’(η
1
)(1-0)
3
,η
1
∈(0,1) ① 取x
0
=0,x=-1代入,得 f(-1)=f(0)+[*]f"(0)(-1-0)
2
+[*]f”’(η
2
)(-1-0)
3
,η
2
∈(-1,0) ② ①-② f(1)-f(-1)=[*][f"’(η
1
)+f"’(η
2
)]=1-0=1 ③ 因为f"’(x)在[-1,1]上连续,则存在M和m,使得[*]x∈[-1,1],m≤f"’(x)≤M ④ ③代入④,有m≤3≤M,由介值定理,存在ξ∈[-1,1],使得f"’(ξ)=3.
解析
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