2. 考研
  3. 设f(x)在闭区间[－1,1]上具有三阶连续导数，且f(－1)=0,f(1)=1,f’(0)=0,证明： 在[－1,1]内存在一点ξ，使得f”’（ξ）=3.

设f(x)在闭区间[－1,1]上具有三阶连续导数，且f(－1)=0,f(1)=1,f’(0)=0,证明： 在[－1,1]内存在一点ξ，使得f”’（ξ）=3.

admin2021-07-15  48
问题 设f(x)在闭区间[－1,1]上具有三阶连续导数，且f(－1)=0,f(1)=1,f’(0)=0,证明：
在[－1,1]内存在一点ξ，使得f”’（ξ）=3.
选项
答案f(x)=f(x0)+f’(x0)(x－x0)+[*]f"(x0)(x－x0)2+[*]f"’(η)(x－x0)3 取x0=0，x=1代入得 f(1)=f(0)+[*]f"(0)(1－0)2+[*]f"’(η1)(1－0)3,η1∈(0,1) ① 取x0=0，x=－1代入，得 f(－1)=f(0)+[*]f"(0)(－1－0)2+[*]f”’(η2)(－1－0)3,η2∈(－1,0) ② ①－② f(1)－f(－1)=[*][f"’(η1)+f"’(η2)]=1－0=1 ③ 因为f"’(x)在[－1,1]上连续，则存在M和m，使得[*]x∈[－1,1],m≤f"’(x)≤M ④ ③代入④，有m≤3≤M,由介值定理，存在ξ∈[－1,1]，使得f"’(ξ)=3.
解析
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考研数学二

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