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设A、B为同阶实对称矩阵,A的特征值全大于a,B的特征值全大于b,a、b为常数,证明:矩阵A+B的特征值全大于a+b.
设A、B为同阶实对称矩阵,A的特征值全大于a,B的特征值全大于b,a、b为常数,证明:矩阵A+B的特征值全大于a+b.
admin
2018-08-02
77
问题
设A、B为同阶实对称矩阵,A的特征值全大于a,B的特征值全大于b,a、b为常数,证明:矩阵A+B的特征值全大于a+b.
选项
答案
设λ为A+B的任一特征值,则有X≠0,使(A+B)X=λX[*](A+B)X-(a+b)X=λX-(a+b)X[*][(A=aE)+(B-bE)]X=[λ-(a+b)]X,故λ-(a+b)为(A-aE)+(B-bE)的特征值,由条件易知A-aE及B-bE均正定,故(A-aE)+(B-bE)正定,因而它的特征值λ-(a+b)>0,[*]λ>a+b,即A+B的任一特征值λ都大于a+b.设s为A+B的最小特征值,对应的特征向量为X
1
,设A、B的最小特征值分别为λ
1
和μ
1
,有s=[*]≥λ
1
+μ
1
>a+b.故A+B的特征值全大于a+b.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/O2j4777K
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考研数学二
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