设A、B为同阶实对称矩阵，A的特征值全大于a，B的特征值全大于b，a、b为常数，证明：矩阵A+B的特征值全大于a+b．

admin2018-08-02 71

问题设A、B为同阶实对称矩阵，A的特征值全大于a，B的特征值全大于b，a、b为常数，证明：矩阵A+B的特征值全大于a+b．

选项

答案设λ为A+B的任一特征值，则有X≠0，使(A+B)X=λX[*](A+B)X-(a+b)X=λX-(a+b)X[*][(A=aE)+(B-bE)]X=[λ-(a+b)]X，故λ-(a+b)为(A-aE)+(B-bE)的特征值，由条件易知A-aE及B-bE均正定，故(A-aE)+(B-bE)正定，因而它的特征值λ-(a+b)＞0，[*]λ＞a+b，即A+B的任一特征值λ都大于a+b．设s为A+B的最小特征值，对应的特征向量为X₁，设A、B的最小特征值分别为λ₁和μ₁，有s=[*]≥λ₁+μ₁＞a+b．故A+B的特征值全大于a+b．

解析

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考研数学二

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