设A是n阶矩阵，k为正整数，α是齐次方程组AkX＝0的一个解，但是Ak-1α≠0．证明α，Aα，…，Ak-1α线性无关．

admin2018-11-23 38

问题设A是n阶矩阵，k为正整数，α是齐次方程组A^kX＝0的一个解，但是A^k-1α≠0．证明α，Aα，…，A^k-1α线性无关．

选项

答案设c₁α＋c₂α＋…＋c_kA^k-1α＝0，要推出每个c_i＝0．先用A^k-1乘上式两边，注意到当m≥k时，A^mα＝0(因为A^kX＝0)，得到c₁A^k-1α＝0．又因为A^k-1α≠0，所以c₁＝0．上式变为c₂Aα＋…＋c_kA^k-1α＝0．再用A^k-2乘之，可得到c₂＝0．如此进行下去，可证明每个c_i＝0．

解析

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考研数学一

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