设f(x)二阶可导,且∫0xf(t)dt+∫0xtf(x—t)dt=x,求f(x).

admin2018-05-23  27

问题 设f(x)二阶可导,且∫0xf(t)dt+∫0xtf(x—t)dt=x,求f(x).

选项

答案0xtf(x—t)dt[*]x∫0xf(μ)dμ=xf∫0xf(t)dt-∫0xtf(t)dt,∫0xf(t)dt+∫0xtf(x—t)dt=x化为∫0xf(t)dt+x∫0xf(t)dt一∫0xtf(t)dt=x,两边求导得f(x)+∫0xf(t)dt=1,两边再求导得f(x)+f(x)=0,解得f(x)=Ce-x,因为f(0)=1,所以C=1,故f(x)=e-x

解析
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