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  3. 设A为m×n矩阵，且r(A)==r＜n，其中 证明方程组AX=b有且仅有n－r+1个线性无关解；

设A为m×n矩阵，且r(A)==r＜n，其中 证明方程组AX=b有且仅有n－r+1个线性无关解；

admin2016-03-18  48
问题 设A为m×n矩阵，且r(A)==r＜n，其中
证明方程组AX=b有且仅有n－r+1个线性无关解；
选项
答案令ξ1，ξ2，…，ξn－r为AX=0的基础解系，η0为Ax=b的特解，显然β0=η0， β1=ξ1+η0，…，βn－r=ξn－r+η0为Ax=b的一组解，令k0β0+ k1β1+…+ k n－r β n－r =0，即 k1ξ1+ k2ξ2+…+ k n－r ξ n－r + (k0+k1+…+ k n－r )η0=0 上式左乘A得(k0+k1+…+ k n－r )b=0，因为b≠0时，k0+k1+…+ k n－r =0，于是k1ξ1+ k2ξ2+…+ k n－r ξ n－r =0，因为ξ1，ξ2，…，ξn－r为AX=0的基础解系，所以k1=k2=…=kn－r=0，于是k0=0，故β0，β1，…，β n－r 线性无关 若γ0，γ1，…，γn－r+1为AX=b的线性无关解，则ξ1=γ1－γ0，…，ξn－r+1=γn－r+1－γ0为AX=0的解，令k1ξ1+ k2ξ2+…+ k n－r+1ξ n－r+1，则 k1γ1+ k2γ2+…+ k n－r+1γ n－r+1l－(k1+k2+…+k n－r+1)γ0=0 因为γ0，γ1，…，γ n－r+1线性无关，所以k1=k2=…=k n－r+1=0，即ξ1，ξ2，…，ξ n－r+1为AX=0的线性无关解，矛盾，故方程组AX=b恰有n－r+1个线性无关解
解析
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考研数学一

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