首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设以元线性方程组Ax=b,其中 (I)证明行列式|A|=(n+1)an; (Ⅱ)当a为何值时,该方程组有唯一的解,并在此时求x1; (Ⅲ)当a为何值时,该方程组有无穷多解,并在此时求其通解.
设以元线性方程组Ax=b,其中 (I)证明行列式|A|=(n+1)an; (Ⅱ)当a为何值时,该方程组有唯一的解,并在此时求x1; (Ⅲ)当a为何值时,该方程组有无穷多解,并在此时求其通解.
admin
2016-04-11
83
问题
设以元线性方程组Ax=b,其中
(I)证明行列式|A|=(n+1)a
n
;
(Ⅱ)当a为何值时,该方程组有唯一的解,并在此时求x
1
;
(Ⅲ)当a为何值时,该方程组有无穷多解,并在此时求其通解.
选项
答案
(I) 记D
n
=|A|,以下用数学归纳法证明D
n
=(n+1)a
n
. 当n=1时,D
1
=2a,结论成立;当n=2时, D
2
=[*]=3a
2
=(n+1)a
n
结论成立;假设结论对于小于n的情况成立.将D
n
按第1行展开,得 D D
n
=2aD D
n—1
— [*] =2aD
n—1
一a
2
D
n—2
(代入归纳假设D
k
=(k+1)a
k
,k<n) =2ana
n—1
一a
2
(n一1)a
n—2
=(n+1)a
n
故|A|=(n+1)a
n
. (Ⅱ)该方程组有唯一解[*]|A|≠0,即a≠0.此时,由克莱姆法则,将D
n
第1列换成b,得行列式 [*] (Ⅲ)当a=0时,方程组为 [*] 此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为n一1,所以此时方程组有无穷多解,其通解为 x=(0,1,0,…,0)
T
+k(1,0,0,…,0)
T
其中k为任意常数.
解析
本题综合考查高阶行列式的计算、线性方程组解的判定及其求解方法.注意当a=0时,方程组为:x
2
=1,x
3
=0,…,x
n
=0,由于系数矩阵右上角的n一1阶子式非零,故选取x
2
,…,x
n
为约束未知量,而x
1
为自由未知量,令x
1
=0,便得Ax=b的一个特解为η=(0,1,0,…,0)
T
,在对应齐次方程组Ax=0中,令自由未知量x
1
=1,便得Ax=0的基础解系为ξ=(1,0,0,…,0)
T
,于是由解的结构定理便得Ax=b的通解为x=η+kξ.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/eyw4777K
0
考研数学一
相关试题推荐
设正交矩阵,其中A是3阶矩阵,λ≠0,且A2=3A。求k1,k2,k3的值;
设f(x,y)为连续函数,且f(x,y)=e—x2—y2+xy2f(u,υ)dudυ,其中D:u2+υ2≤a2(a>0),则f(x,y)=________.
[*]所求极限为和式极限的形式,则可利用夹逼准则进行求解。其中由夹逼准则可知
设A为三阶实对称矩阵,为方程组AX=0的解,为方程组(2E-A)X=0的一个解,|E+A|=0,则A=___.
设正数列{an}满足.则极限=
设函数,且y=f(x)+g(x)在(-∞,+∞)内连续,试确定常数a,b的值.
设平面区域D由直线x=1,x—y=2与曲线y=围成,f(x,y)是D上的连续函数,则下列选项中不等于的是().
χeχ+1=的根的个数为().
已知动点P在曲线y=x3上运动,记坐标原点与点P之间的距离为l,若点P的横坐标对时间的变化率为常数v0,则当点P运动到点(1,1)时,l对时间的变化率是________.
已知对于n阶方阵A,存在自然数k,使得Ak=0,试证明矩阵E-A可逆,并求出逆矩阵的表达式(层为n阶单位矩阵).
随机试题
简答新时代中国共产党的历史使命。
不使用颗粒性抗原的免疫反应是
提示HBV处于复制状态,具有强感染性的一个指标是
某工程采用钻孔灌注桩基础,桩基设计等级为乙级。该工程总桩数为100根,桩下承台矩形布桩,每个承台下设置4根桩。按《建筑基桩检测技术规范))(JGJ106—2014)制定检测方案时,桩身完整性检测的数量应不少于几根?()
大气环境现状质量监测结果统计分析工作中应包括的内容有( )。
材料1最近,中国互联网信息中心发布了《第29次中国互联网络发展状况统计报告》,对中国网民规模及结构特征、互联网基础资源、网民互联网应用状况、手机网民结构及应用情况进行了全面详尽的调查分析。调查显示:中国网民规模突破5亿,互联网普及率达到38.3%
Japanesebusinessesaredvidedintotwomaincategories.Thefirstisthatofthemajorcorportationsthatworkcloselywiththe
根据皮亚杰的认知发展论,处于具体运算阶段儿童的典型游戏类型是()。
道德的调节功能是道德最突出也是最重要的功能。道德调节的主要形式是
A、sweetandblackB、withmilkC、blackwithnosugarA
最新回复
(
0
)