设以元线性方程组Ax=b,其中 (I)证明行列式|A|=(n+1)an; (Ⅱ)当a为何值时,该方程组有唯一的解,并在此时求x1; (Ⅲ)当a为何值时,该方程组有无穷多解,并在此时求其通解.

admin2016-04-11  76

问题 设以元线性方程组Ax=b,其中

(I)证明行列式|A|=(n+1)an
(Ⅱ)当a为何值时,该方程组有唯一的解,并在此时求x1
(Ⅲ)当a为何值时,该方程组有无穷多解,并在此时求其通解.

选项

答案(I) 记Dn=|A|,以下用数学归纳法证明Dn=(n+1)an. 当n=1时,D1=2a,结论成立;当n=2时, D2=[*]=3a2=(n+1)an 结论成立;假设结论对于小于n的情况成立.将Dn按第1行展开,得 D Dn=2aD Dn—1— [*] =2aDn—1一a2Dn—2 (代入归纳假设Dk=(k+1)ak,k<n) =2anan—1一a2(n一1)an—2=(n+1)an 故|A|=(n+1)an. (Ⅱ)该方程组有唯一解[*]|A|≠0,即a≠0.此时,由克莱姆法则,将Dn第1列换成b,得行列式 [*] (Ⅲ)当a=0时,方程组为 [*] 此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为n一1,所以此时方程组有无穷多解,其通解为 x=(0,1,0,…,0)T+k(1,0,0,…,0)T 其中k为任意常数.

解析 本题综合考查高阶行列式的计算、线性方程组解的判定及其求解方法.注意当a=0时,方程组为:x2=1,x3=0,…,xn=0,由于系数矩阵右上角的n一1阶子式非零,故选取x2,…,xn为约束未知量,而x1为自由未知量,令x1=0,便得Ax=b的一个特解为η=(0,1,0,…,0)T,在对应齐次方程组Ax=0中,令自由未知量x1=1,便得Ax=0的基础解系为ξ=(1,0,0,…,0)T,于是由解的结构定理便得Ax=b的通解为x=η+kξ.
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