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  3. 设以元线性方程组Ax=b，其中 (I)证明行列式｜A｜=(n+1)an； (Ⅱ)当a为何值时，该方程组有唯一的解，并在此时求x1； (Ⅲ)当a为何值时，该方程组有无穷多解，并在此时求其通解．

设以元线性方程组Ax=b，其中 (I)证明行列式｜A｜=(n+1)an； (Ⅱ)当a为何值时，该方程组有唯一的解，并在此时求x1； (Ⅲ)当a为何值时，该方程组有无穷多解，并在此时求其通解．

admin2016-04-11  30
问题 设以元线性方程组Ax=b，其中

(I)证明行列式｜A｜=(n+1)an；
(Ⅱ)当a为何值时，该方程组有唯一的解，并在此时求x1；
(Ⅲ)当a为何值时，该方程组有无穷多解，并在此时求其通解．
选项
答案(I) 记Dn=｜A｜，以下用数学归纳法证明Dn=(n+1)an． 当n=1时，D1=2a，结论成立；当n=2时， D2=[*]=3a2=(n+1)an 结论成立；假设结论对于小于n的情况成立．将Dn按第1行展开，得 D Dn=2aD Dn—1— [*] =2aDn—1一a2Dn—2 (代入归纳假设Dk=(k+1)ak，k＜n) =2anan—1一a2(n一1)an—2=(n+1)an 故｜A｜=(n+1)an． (Ⅱ)该方程组有唯一解[*]｜A｜≠0，即a≠0．此时，由克莱姆法则，将Dn第1列换成b，得行列式 [*] (Ⅲ)当a=0时，方程组为 [*] 此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为n一1，所以此时方程组有无穷多解，其通解为 x=(0，1，0，…，0)T+k(1，0，0，…，0)T 其中k为任意常数．
解析 本题综合考查高阶行列式的计算、线性方程组解的判定及其求解方法．注意当a=0时，方程组为：x2=1，x3=0，…，xn=0，由于系数矩阵右上角的n一1阶子式非零，故选取x2，…，xn为约束未知量，而x1为自由未知量，令x1=0，便得Ax=b的一个特解为η=(0，1，0，…，0)T，在对应齐次方程组Ax=0中，令自由未知量x1=1，便得Ax=0的基础解系为ξ=(1，0，0，…，0)T，于是由解的结构定理便得Ax=b的通解为x=η+kξ．
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