设λ1,λ2,…,λn是n阶方阵A的互异特征值,α1,α2,…,αn是A的分别对应于这些特征值的特征向量,证明α1,α2,…,αn线性无关;

admin2021-07-27  27

问题 设λ1,λ2,…,λn是n阶方阵A的互异特征值,α1,α2,…,αn是A的分别对应于这些特征值的特征向量,证明α1,α2,…,αn线性无关;

选项

答案用数学归纳法. ①由特征向量α1≠0,故α1线性无关; ②设前k=1个特征向量α1,α2,…,αk-1线性无关,以下证明α1,α2,…,αk线性无关.k个互异特征值λ1,λ2,…,λk对应特征向量α1,α2,…,αk.设存在一组数l1,l2,…,lk,使得l1α1+l2α2+…+lkαk=0,(*)在(*)式两端左乘A,有l11+l22+…+lkk=0,即l1λ1α1+l2λ2α2+…+lkλkαk=0,(**)又在(*)式两端同乘λk有l1λkα1+l2λkα2+…+lkλkαk=0,(***)用(**)式减去(***)式,得l11k1+l22k2+…+lk-1(lk-1-lkk-1=0.由归纳假设α1,α2,…,αk-1线性无关,故l11k)+l22k)+…+lk-1(lk-1-lk)=0,又λik≠0(i=1,2,…,k-1),故l1=l2=…=λk-1=0.代回(*)式,于是lkαk=0,由αk≠0,有lk=0,于是α1,α2,…,αk线性无关.所以n个互异特征值对应特征向量α1,α2,…,αn线性无关.

解析
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