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设λ1,λ2,…,λn是n阶方阵A的互异特征值,α1,α2,…,αn是A的分别对应于这些特征值的特征向量,证明α1,α2,…,αn线性无关;
设λ1,λ2,…,λn是n阶方阵A的互异特征值,α1,α2,…,αn是A的分别对应于这些特征值的特征向量,证明α1,α2,…,αn线性无关;
admin
2021-07-27
27
问题
设λ
1
,λ
2
,…,λ
n
是n阶方阵A的互异特征值,α
1
,α
2
,…,α
n
是A的分别对应于这些特征值的特征向量,证明α
1
,α
2
,…,α
n
线性无关;
选项
答案
用数学归纳法. ①由特征向量α
1
≠0,故α
1
线性无关; ②设前k=1个特征向量α
1
,α
2
,…,α
k-1
线性无关,以下证明α
1
,α
2
,…,α
k
线性无关.k个互异特征值λ
1
,λ
2
,…,λ
k
对应特征向量α
1
,α
2
,…,α
k
.设存在一组数l
1
,l
2
,…,l
k
,使得l
1
α
1
+l
2
α
2
+…+l
k
α
k
=0,(*)在(*)式两端左乘A,有l
1
Aα
1
+l
2
Aα
2
+…+l
k
Aα
k
=0,即l
1
λ
1
α
1
+l
2
λ
2
α
2
+…+l
k
λ
k
α
k
=0,(**)又在(*)式两端同乘λ
k
有l
1
λ
k
α
1
+l
2
λ
k
α
2
+…+l
k
λ
k
α
k
=0,(***)用(**)式减去(***)式,得l
1
(λ
1
-λ
k
)α
1
+l
2
(λ
2
-λ
k
)α
2
+…+l
k-1
(l
k-1
-l
k
)α
k-1
=0.由归纳假设α
1
,α
2
,…,α
k-1
线性无关,故l
1
(λ
1
-λ
k
)+l
2
(λ
2
-λ
k
)+…+l
k-1
(l
k-1
-l
k
)=0,又λ
i
-λ
k
≠0(i=1,2,…,k-1),故l
1
=l
2
=…=λ
k-1
=0.代回(*)式,于是l
k
α
k
=0,由α
k
≠0,有l
k
=0,于是α
1
,α
2
,…,α
k
线性无关.所以n个互异特征值对应特征向量α
1
,α
2
,…,α
n
线性无关.
解析
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0
考研数学二
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