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设λ1，λ2，…，λn是n阶方阵A的互异特征值，α1，α2，…，αn是A的分别对应于这些特征值的特征向量，证明α1，α2，…，αn线性无关；
设λ1，λ2，…，λn是n阶方阵A的互异特征值，α1，α2，…，αn是A的分别对应于这些特征值的特征向量，证明α1，α2，…，αn线性无关；
admin
2021-07-27
33
问题
设λ
1
，λ
2
，…，λ
n
是n阶方阵A的互异特征值，α
1
，α
2
，…，α
n
是A的分别对应于这些特征值的特征向量，证明α
1
，α
2
，…，α
n
线性无关；
选项
答案
用数学归纳法． ①由特征向量α
1
≠0，故α
1
线性无关； ②设前k=1个特征向量α
1
，α
2
，…，α
k-1
线性无关，以下证明α
1
，α
2
，…，α
k
线性无关．k个互异特征值λ
1
，λ
2
，…，λ
k
对应特征向量α
1
，α
2
，…，α
k
．设存在一组数l
1
，l
2
，…，l
k
，使得l
1
α
1
+l
2
α
2
+…+l
k
α
k
=0，(*)在(*)式两端左乘A，有l
1
Aα
1
+l
2
Aα
2
+…+l
k
Aα
k
=0，即l
1
λ
1
α
1
+l
2
λ
2
α
2
+…+l
k
λ
k
α
k
=0，(**)又在(*)式两端同乘λ
k
有l
1
λ
k
α
1
+l
2
λ
k
α
2
+…+l
k
λ
k
α
k
=0，(***)用(**)式减去(***)式，得l
1
(λ
1
-λ
k
)α
1
+l
2
(λ
2
-λ
k
)α
2
+…+l
k-1
(l
k-1
-l
k
)α
k-1
=0．由归纳假设α
1
，α
2
，…，α
k-1
线性无关，故l
1
(λ
1
-λ
k
)+l
2
(λ
2
-λ
k
)+…+l
k-1
(l
k-1
-l
k
)=0，又λ
i
-λ
k
≠0(i=1，2，…，k-1)，故l
1
=l
2
=…=λ
k-1
=0．代回(*)式，于是l
k
α
k
=0，由α
k
≠0，有l
k
=0，于是α
1
，α
2
，…，α
k
线性无关．所以n个互异特征值对应特征向量α
1
，α
2
，…，α
n
线性无关．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/OFy4777K
0
考研数学二
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