设λ1，λ2，…，λn是n阶方阵A的互异特征值，α1，α2，…，αn是A的分别对应于这些特征值的特征向量，证明α1，α2，…，αn线性无关；

admin2021-07-27 30

问题设λ₁，λ₂，…，λ_n是n阶方阵A的互异特征值，α₁，α₂，…，α_n是A的分别对应于这些特征值的特征向量，证明α₁，α₂，…，α_n线性无关；

选项

答案用数学归纳法． ①由特征向量α₁≠0，故α₁线性无关； ②设前k=1个特征向量α₁，α₂，…，α_k-1线性无关，以下证明α₁，α₂，…，α_k线性无关．k个互异特征值λ₁，λ₂，…，λ_k对应特征向量α₁，α₂，…，α_k．设存在一组数l₁，l₂，…，l_k，使得l₁α₁+l₂α₂+…+l_kα_k=0，(*)在(*)式两端左乘A，有l₁Aα₁+l₂Aα₂+…+l_kAα_k=0，即l₁λ₁α₁+l₂λ₂α₂+…+l_kλ_kα_k=0，(**)又在(*)式两端同乘λ_k有l₁λ_kα₁+l₂λ_kα₂+…+l_kλ_kα_k=0，(***)用(**)式减去(***)式，得l₁(λ₁-λ_k)α₁+l₂(λ₂-λ_k)α₂+…+l_k-1(l_k-1-l_k)α_k-1=0．由归纳假设α₁，α₂，…，α_k-1线性无关，故l₁(λ₁-λ_k)+l₂(λ₂-λ_k)+…+l_k-1(l_k-1-l_k)=0，又λ_i-λ_k≠0(i=1，2，…，k-1)，故l₁=l₂=…=λ_k-1=0．代回(*)式，于是l_kα_k=0，由α_k≠0，有l_k=0，于是α₁，α₂，…，α_k线性无关．所以n个互异特征值对应特征向量α₁，α₂，…，α_n线性无关．

解析

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考研数学二

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