设η1,η2,η3为3个n维向量,已知n元齐次方程组AX=0的每个解都可以用η1,η2,η3线性表示,并且r(A)=n-3,证明η1,η2,η3为AX=0的一个基础解系.

admin2019-08-12  54

问题 设η1,η2,η3为3个n维向量,已知n元齐次方程组AX=0的每个解都可以用η1,η2,η3线性表示,并且r(A)=n-3,证明η1,η2,η3为AX=0的一个基础解系.

选项

答案因为r(A)=n-3,所以AX=0的基础解系包含3个解.设γ1,γ2,γ3是AX=0的一个基础解系,则条件说明γ1,γ2,γ3可以用η1,η2,η3线性表示.于是有下面的关于秩的关系式: 3=r(γ1,γ2,γ3)≤r(η1,η2,η3;γ1,γ2,γ3)=r(η1,η2,η3)≤3, 从而 r(γ1,γ2,γ3)=r(η1,η2,η3;γ1,γ2,γ3)=r(η1,η2,η3), 这说明η1,η2,η3和γ1,γ2,γ3等价,从而η1,η2,η3也都是AX=0的解;又r(η1,η2,η3)=3,即η1,η2,η3线性无关,因此是AX=0的一个基础解系.

解析
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