用数学归纳法证明：f(n)=(2n+7).3n—1+3(n∈N*)能被12整除．

admin2019-01-31 45

问题用数学归纳法证明：f(n)=(2n+7).3^n—1+3(n∈N^*)能被12整除．

选项

答案①当n=1时，f(1)=(2×1+7).3^1—1+3=12，能被12整除． ②假设n=k时，f(k)=(2k+7).3^k—1+3能被12整除，则当n=k+1时，f(k+1)=[2(k+1)+7].3^k+3=3[(2k+7).3^k—1+3]+6(3^k—1—1)，由归纳假设3[(2k+7).3^k—1+3]能被12整除，而当k＞1时，3^k—1—1是2的倍数，所以6(3^k—1—1)能被12整除．所以当n=k+1时，f(n)能被12整除．综合①②可知，对任何，n∈N^*，f(n)能被12整除．

解析

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