设f(x)为连续函数，F(t)=∫1tdy∫ytf(x)dx,则F’(t)=_______

admin2021-08-02 49

问题设f(x)为连续函数，F(t)=∫₁^tdy∫_y^tf(x)dx,则F’(t)=_______

选项

答案(t—1)f(t)

解析所给积分为二重变限积分，它是变限t的函数．故求F’(t)需先将二重变限积分化为变限的单积分．为此考虑所给二次积分的特点，依给定的积分次序，不能化为变限单积分，先交换积分次序，可得
F(t)=∫₁^tdy∫_y^tf(x)dx=∫₁^tdx∫₁^xf(x)dy—∫₁^t(x—1)f(x)dx.
因此可得
F’(t)=(t—1)f(t)．

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