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(2006年)设在上半平面D={(x,y)|y>0)内,函数f(x,y)具有连续偏导数,且对任意的t>0都有f(tx,ty)=t-2f(x,y)。证明:对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有
(2006年)设在上半平面D={(x,y)|y>0)内,函数f(x,y)具有连续偏导数,且对任意的t>0都有f(tx,ty)=t-2f(x,y)。证明:对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有
admin
2021-01-15
8
问题
(2006年)设在上半平面D={(x,y)|y>0)内,函数f(x,y)具有连续偏导数,且对任意的t>0都有f(tx,ty)=t
-2
f(x,y)。证明:对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有
选项
答案
f(tx,ty)=t
-2
f(x,y)两边对t求导得 xf′
1
(tx,ty)+yf′
2
(tx,ty)=一2t
-3
f(x,y)。 令t=1,则 xf′
x
(x,y)+yf′
y
(x,y)=一2f(x,y)。 (*) 设P(x,y)=yf(x,y),Q(x,y)=一xf(x,y),则 [*] 则由(*)可得 [*] 故由曲线积分与路径无关的定理可知,对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有 [*]
解析
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考研数学一
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