设函数f(x)在[0，+∞)内可导，f(0)=1，且f′(x)+f(x)-1/(x+1)∫0xf(t)dt=0. (1)求f′(x)； (2)证明：当x≥0时，e-x≤f(x)≤1.

admin2022-08-19 59

问题设函数f(x)在[0，+∞)内可导，f(0)=1，且f′(x)+f(x)-1/(x+1)∫₀^xf(t)dt=0.
(1)求f′(x)；
(2)证明：当x≥0时，e^-x≤f(x)≤1.

选项

答案(1)(x+1)f′(x)+(x+1)f(x)-∫₀^xf(t)dt=0两边求导数，得 (x+1)f″(x)=-(x+2)f′(x)[*]f′(x)=(Ce^-x)/(x+1)，再由f(0)=1，f′(0)+f(0)=0，得f′(0)=-1，所以C=-1，于是f′(x)=-[e_-x/(x+1)]. (2)当x≥0时，因为f′(x)＜0且f(0)=1，所以f(x)≤f(0)=1. 令g(x)=f(x)-e^-x，g(0)=0，g′(x)=f′(x)+e^-x=[x/(x+1)]e^-x≥0， [*]

解析

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