2. 考研
  3. 设函数f(x)在[0，+∞)内可导，f(0)=1，且f′(x)+f(x)-1/(x+1)∫0xf(t)dt=0. (1)求f′(x)； (2)证明：当x≥0时，e-x≤f(x)≤1.

设函数f(x)在[0，+∞)内可导，f(0)=1，且f′(x)+f(x)-1/(x+1)∫0xf(t)dt=0. (1)求f′(x)； (2)证明：当x≥0时，e-x≤f(x)≤1.

admin2022-08-19  67
问题 设函数f(x)在[0，+∞)内可导，f(0)=1，且f′(x)+f(x)-1/(x+1)∫0xf(t)dt=0.
(1)求f′(x)；
(2)证明：当x≥0时，e-x≤f(x)≤1.
选项
答案(1)(x+1)f′(x)+(x+1)f(x)-∫0xf(t)dt=0两边求导数，得 (x+1)f″(x)=-(x+2)f′(x)[*]f′(x)=(Ce-x)/(x+1)， 再由f(0)=1，f′(0)+f(0)=0，得f′(0)=-1，所以C=-1，于是f′(x)=-[e-x/(x+1)]. (2)当x≥0时，因为f′(x)＜0且f(0)=1，所以f(x)≤f(0)=1. 令g(x)=f(x)-e-x，g(0)=0，g′(x)=f′(x)+e-x=[x/(x+1)]e-x≥0， [*]
解析
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考研数学三

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