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设f(x)在[a，b]上连续，任取xi∈[a，b](i=1，2，…，n)，任取ki＞0(i=1，2，…n)， 证明：存在ξ∈[a，b]，使得 k1f(x1)+k2f(x2)+…+knf(xn)=(k1，k2，…，kn)f(ξ).
设f(x)在[a，b]上连续，任取xi∈[a，b](i=1，2，…，n)，任取ki＞0(i=1，2，…n)， 证明：存在ξ∈[a，b]，使得 k1f(x1)+k2f(x2)+…+knf(xn)=(k1，k2，…，kn)f(ξ).
admin
2022-08-19
61
问题
设f(x)在[a，b]上连续，任取x
i
∈[a，b](i=1，2，…，n)，任取k
i
＞0(i=1，2，…n)，
证明：存在ξ∈[a，b]，使得
k
1
f(x
1
)+k
2
f(x
2
)+…+k
n
f(x
n
)=(k
1
，k
2
，…，k
n
)f(ξ).
选项
答案
因为f(x)在[a，b]上连续，所以f(x)在[a，b]上取到最小值m和最大值M， 显然有m≤f(x
i
)≤M(i=1，2，…，n)， 注意到k
i
＞0(i=1，2，…，n)，所以有 k
i
m≤k
i
f(x
i
)≤k
i
M(i=1，2，…，n)， 同向不等式相加，得 (k
1
+k
2
+…+k
n
)m≤k
1
f(x
1
)+k
2
f(x
2
)+…+k
n
f(x
n
)≤(k
1
+k
2
+…+k
n
)M， 即m≤[k
1
f(x
1
)+k
2
f(x
2
)+…+k
n
f(x
n
)]/[k
1
+k
2
+…+k
n
]≤M， 由介值定理，存在ξ∈[a，b]，使得f(ξ)=[k
1
f(x
1
)+k
2
f(x
2
)+…+k
n
f(x
n
)]/[k
1
+k
2
+…+k
n
] 即k
1
f(x
1
)+k
2
f(x
2
)+…+k
n
f(x
n
)=(k
1
+k
2
+…+k
n
)f(ξ).
解析
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考研数学三
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