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设f(x)在[a,b]上连续,任取xi∈[a,b](i=1,2,…,n),任取ki>0(i=1,2,…n), 证明:存在ξ∈[a,b],使得 k1f(x1)+k2f(x2)+…+knf(xn)=(k1,k2,…,kn)f(ξ).
设f(x)在[a,b]上连续,任取xi∈[a,b](i=1,2,…,n),任取ki>0(i=1,2,…n), 证明:存在ξ∈[a,b],使得 k1f(x1)+k2f(x2)+…+knf(xn)=(k1,k2,…,kn)f(ξ).
admin
2022-08-19
75
问题
设f(x)在[a,b]上连续,任取x
i
∈[a,b](i=1,2,…,n),任取k
i
>0(i=1,2,…n),
证明:存在ξ∈[a,b],使得
k
1
f(x
1
)+k
2
f(x
2
)+…+k
n
f(x
n
)=(k
1
,k
2
,…,k
n
)f(ξ).
选项
答案
因为f(x)在[a,b]上连续,所以f(x)在[a,b]上取到最小值m和最大值M, 显然有m≤f(x
i
)≤M(i=1,2,…,n), 注意到k
i
>0(i=1,2,…,n),所以有 k
i
m≤k
i
f(x
i
)≤k
i
M(i=1,2,…,n), 同向不等式相加,得 (k
1
+k
2
+…+k
n
)m≤k
1
f(x
1
)+k
2
f(x
2
)+…+k
n
f(x
n
)≤(k
1
+k
2
+…+k
n
)M, 即m≤[k
1
f(x
1
)+k
2
f(x
2
)+…+k
n
f(x
n
)]/[k
1
+k
2
+…+k
n
]≤M, 由介值定理,存在ξ∈[a,b],使得f(ξ)=[k
1
f(x
1
)+k
2
f(x
2
)+…+k
n
f(x
n
)]/[k
1
+k
2
+…+k
n
] 即k
1
f(x
1
)+k
2
f(x
2
)+…+k
n
f(x
n
)=(k
1
+k
2
+…+k
n
)f(ξ).
解析
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考研数学三
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