设f(x)是[0,1]上的连续函数，证明： ∫0πxf(sinx)dx=∫0πf(sinx)dx 并由此计算.

admin2022-09-05 53

问题设f(x)是[0,1]上的连续函数，证明：
∫₀^πxf(sinx)dx=

∫₀^πf(sinx)dx
并由此计算

选项

答案作换元x=π－t,则由诱导公式sin(π－t)=sint，有 I=∫₀^πxf(sinx)dx=∫_π⁰(π－t)f[sin(π－t)]d(π－t)=∫₀^π(π－t)f(sint)dt =π∫₀^πf(sint)dt－∫₀^πtf(sint)dt=π∫₀^πf(sint)dt－I 故2I=π∫₀^πf(sint)dt，即I=[*]∫₀^πf(sinx)dx，等式得证利用这个公式，由于[*],它具有xf(sinx)的形式，故有 [*]

解析

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