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设f(x)是[0,1]上的连续函数,证明: ∫0πxf(sinx)dx=∫0πf(sinx)dx 并由此计算.
设f(x)是[0,1]上的连续函数,证明: ∫0πxf(sinx)dx=∫0πf(sinx)dx 并由此计算.
admin
2022-09-05
50
问题
设f(x)是[0,1]上的连续函数,证明:
∫
0
π
xf(sinx)dx=
∫
0
π
f(sinx)dx
并由此计算
.
选项
答案
作换元x=π-t,则由诱导公式sin(π-t)=sint,有 I=∫
0
π
xf(sinx)dx=∫
π
0
(π-t)f[sin(π-t)]d(π-t)=∫
0
π
(π-t)f(sint)dt =π∫
0
π
f(sint)dt-∫
0
π
tf(sint)dt=π∫
0
π
f(sint)dt-I 故2I=π∫
0
π
f(sint)dt,即I=[*]∫
0
π
f(sinx)dx,等式得证 利用这个公式,由于[*],它具有xf(sinx)的形式,故有 [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/QrR4777K
0
考研数学三
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