求微分方程的通解．

admin2018-11-11 79

问题求微分方程

的通解．

选项

答案应先用三角公式将自由项写成 e^-x+e^-xcosx，然后再用叠加原理和待定系数法求特解．对应的齐次方程的通解为 Y=(C₁cosx+C₂sinx)e^-x．为求原方程的一个特解，将自由项分成两项：e^x，e^-xcosx，分别考虑 y"+2y’+2y=e^-x， ① 与 y"+2y’+2y=e^-xcosx． ② 对于式①，令 y₁^*=Ae^-x，代入可求得A=1，从而得y₁^*=e^-x．对于式②，令 y₂^*=xe^-x(Bcosx+Csinx)，代入可求得B=0，[*]从而得[*]由叠加原理，得原方程的通解为 y=Y+y₁^*+y₂^*=e^-x(C₁cosx+C₂sinx)+e^-x+[*]xe^-xsinx，其中C₁，C₂为任意常数．

解析

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