设α1,α2……αs为线性方程组Ax=0的一个基础解系，β1=t1α1+t2α2，β2=t1α1+t2α3，…，βs=t1α1+t2α1，其中t1，t2为实常数．试问t1，t2满足什么条件时，β1β2……βs也为Ax=0的一个基础解系．

admin2016-03-05 85

问题设α₁,α₂……α_s为线性方程组Ax=0的一个基础解系，β₁=t₁α₁+t₂α₂，β₂=t₁α₁+t₂α₃，…，β_s=t₁α₁+t₂α₁，其中t₁，t₂为实常数．试问t₁，t₂满足什么条件时，β₁β₂……β_s也为Ax=0的一个基础解系．

选项

答案因为β_i(i=1，2，…，s)是α₁,α₂……α_s的线性组合，且α₁,α₂……α_s是Ax=0的解，所以根据齐次线性方程组解的性质知β_i(i=1，2，…，s)均为Ax=0的解．由α₁,α₂……α_s是Ax=0的基础解系，知s=n—r(A)．以下分析β₁β₂……β_s线性无关的条件：设k₁β₁+k₂β₂+…+k_sβ_s=0，即(t₁k₁+t₂k_s)α₁+(t₂k₁+t₁k₂)α₂+(t₂k₂+t₁k₃)α₃+…+(t₂k_s-1+t₁k_s)α_s=0，由于α₁,α₂……α_s线性无关，因此有 [*] 当t₁^s+(一1)^s+1t₂^s≠0时，方程组(*)只有零解k₁=k₂=…=k_s=0．因此当s为偶数，t₁≠±t₂，或当s为奇数，t₁≠一t₂时，β₁β₂……β_s线性无关．

解析

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考研数学二

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设α1,α2……αs为线性方程组Ax=0的一个基础解系，β1=t1α1+t2α2，β2=t1α1+t2α3，…，βs=t1α1+t2α1，其中t1，t2为实常数．试问t1，t2满足什么条件时，β1β2……βs也为Ax=0的一个基础解系．

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设A，B均是3阶矩阵，且A2=2AB+E，则r(AB-BA+2A)=()

设数列{an}满足a0=2，nan=an-1+n-1(n≥1)．证明：

设f(x)在[0，1]上有一阶连续导数，且f(0)=0，∫01xf(x)dx=0．证明：方程x[f(x)]2+f’(x)∫0xtf(t)dt=0在(0，1)内至少有两个不同的实根．

设A，B均为4阶矩阵，它们的伴随矩阵分别为A与B，且r(A)=3，r(B)=4，则方程组ABx=0()

证明：∫aa+2πln(2+cosx)·cosxdx＞0，其中a为任意常数．

设A，B为三阶矩阵，A～B，λ1=-1，λ2=1为矩阵A的两个特征值，又|B-1|=则=________

设函数y＝y(x)由方程组所确定，试求t＝0

A为四阶方阵，方程组AX=0的通解为x=k1(1，0，1，0)T+k2(0，0，0，1)T，A的伴随矩阵为A，则秩(A)*=()．

设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(-1，2，-1)T，α2=(0，-1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解．求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ=A．

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该企业计划实施一致性较高的人力资源政策，应该注意在以下哪些方面保持人力资源实务的一致性()。对人力资源实务在员工个体上的一致性，应当从以下哪些方面进行衡量()。

侵犯的构成，主要有()方面的因素。

教育是社会主义现代化建设的()，国家保障教育事业的优先发展。

在社会主义运动的历史上，巴黎公社和十月革命具有重要的历史意义。巴黎公社是无产阶级革命的一次伟大尝试。巴黎公社()

掷一枚均匀的硬币若干次，当正面向上次数大于反面向上次数时停止，则在4次之内停止的概率为()．

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