设α1,α2……αs为线性方程组Ax=0的一个基础解系,β1=t1α1+t2α2,β2=t1α1+t2α3,…,βs=t1α1+t2α1,其中t1,t2为实常数.试问t1,t2满足什么条件时,β1β2……βs也为Ax=0的一个基础解系.

admin2016-03-05  43

问题 设α12……αs为线性方程组Ax=0的一个基础解系,β1=t1α1+t2α2,β2=t1α1+t2α3,…,βs=t1α1+t2α1,其中t1,t2为实常数.试问t1,t2满足什么条件时,β1β2……βs也为Ax=0的一个基础解系.

选项

答案因为βi(i=1,2,…,s)是α12……αs的线性组合,且α12……αs是Ax=0的解,所以根据齐次线性方程组解的性质知βi(i=1,2,…,s)均为Ax=0的解.由α12……αs是Ax=0的基础解系,知s=n—r(A).以下分析β1β2……βs线性无关的条件:设k1β1+k2β2+…+ksβs=0,即(t1k1+t2ks1+(t2k1+t1k22+(t2k2+t1k33+…+(t2ks-1+t1kss=0,由于α12……αs线性无关,因此有 [*] 当t1s+(一1)s+1t2s≠0时,方程组(*)只有零解k1=k2=…=ks=0.因此当s为偶数,t1≠±t2,或当s为奇数,t1≠一t2时,β1β2……βs线性无关.

解析
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