用拉格朗日乘数法计算下列各题： (1)欲围一个面积为60m2的矩形场地，正面所用材料每米造价10元，其余三面每米造价5元．求场地长、宽各为多少米时，所用材料费最少? (2)用a元购料，建造一个宽与深相同的长方体水池，已知四周的单位面积材料费为底面单位面积材

admin2017-12-23 103

问题用拉格朗日乘数法计算下列各题：
(1)欲围一个面积为60m²的矩形场地，正面所用材料每米造价10元，其余三面每米造价5元．求场地长、宽各为多少米时，所用材料费最少?
(2)用a元购料，建造一个宽与深相同的长方体水池，已知四周的单位面积材料费为底面单位面积材料费的1．2倍，求水池长与宽(深)各为多少时，才能使容积最大．
(3)设生产某种产品的数量与所用两种原料A、B的数量x，y间有关系式P(x，y)＝0．005x²y．欲用150元购料，已知A、B原料的单价分别为1元、2元，问购进两种原料各多少，可使生产的数量最多?

选项

答案解(1)设场地的长和宽分别为x和y，则总造价 f(x，y)＝10x＋5x＋10y＝15x＋10y且g(x，y)＝x×y－60＝0 构造拉格朗日函数F(x，y)＝f(x，y)＋λg(x，y)，则 F(x，y)＝15x＋10y＋λxy－60λ Fˊ_x＝15＋λy，Fˊ_y＝10＋λx [*]

解析

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考研数学二

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考研数学二

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