(08年)设f(χ)是周期为2的连续函数． (Ⅰ)证明对任意的实数t，有∫tt+2f(χ)dχ＝∫02f(χ)dχ； (Ⅱ)证明G(χ)＝∫0χ[2f(t)－∫tt+2f(s)ds]dt是周期为2的周期函数．

admin2021-01-25 112

问题 (08年)设f(χ)是周期为2的连续函数．
(Ⅰ)证明对任意的实数t，有∫_t^t+2f(χ)dχ＝∫₀²f(χ)dχ；
(Ⅱ)证明G(χ)＝∫₀^χ[2f(t)－∫_t^t+2f(s)ds]dt是周期为2的周期函数．

选项

答案(Ⅰ)由积分的性质知，对任意的实数t， ∫_t^t+2f(χ)dχ＝∫_t⁰f(χ)dχ＋∫₀²f(χ)dχ＋∫₂^t+2f(χ)dχ 令s＝χ－2，则有 ∫₂^t+2f(χ)dχ＝∫₀^tf(s＋2)ds＝∫₀^tf(s)ds＝－∫_t⁰f(χ)dχ 所以∫_t^t+2f(χ)dχ＝∫_t⁰f(χ)dχ＋∫₀²f(χ)dχ－∫_t⁰f(χ)dχ＝∫₀²f(χ)dχ (Ⅱ)由于∫_t^t+2f(s)ds－∫₀²f(s)ds 记∫₀²f(s)ds＝a 则G(χ)＝2∫₀^χf(t)dt－aχ 因为对任意的χ， G(χ＋2)－G(χ)＝2∫₀^χ＋2f(t)dt－a(χ＋2)－2∫₀^χf(t)dt＋aχ ＝2∫_χ^χ＋2f(t)dt－2a＝2∫₀²f(t)dt－2a＝0，所以，G(χ)是周期为2的周期函数．

解析

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考研数学三

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(08年)设f(χ)是周期为2的连续函数． (Ⅰ)证明对任意的实数t，有∫tt+2f(χ)dχ＝∫02f(χ)dχ； (Ⅱ)证明G(χ)＝∫0χ[2f(t)－∫tt+2f(s)ds]dt是周期为2的周期函数．

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