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(08年)设f(χ)是周期为2的连续函数. (Ⅰ)证明对任意的实数t,有∫tt+2f(χ)dχ=∫02f(χ)dχ; (Ⅱ)证明G(χ)=∫0χ[2f(t)-∫tt+2f(s)ds]dt是周期为2的周期函数.
(08年)设f(χ)是周期为2的连续函数. (Ⅰ)证明对任意的实数t,有∫tt+2f(χ)dχ=∫02f(χ)dχ; (Ⅱ)证明G(χ)=∫0χ[2f(t)-∫tt+2f(s)ds]dt是周期为2的周期函数.
admin
2021-01-25
108
问题
(08年)设f(χ)是周期为2的连续函数.
(Ⅰ)证明对任意的实数t,有∫
t
t+2
f(χ)dχ=∫
0
2
f(χ)dχ;
(Ⅱ)证明G(χ)=∫
0
χ
[2f(t)-∫
t
t+2
f(s)ds]dt是周期为2的周期函数.
选项
答案
(Ⅰ)由积分的性质知,对任意的实数t, ∫
t
t+2
f(χ)dχ=∫
t
0
f(χ)dχ+∫
0
2
f(χ)dχ+∫
2
t+2
f(χ)dχ 令s=χ-2,则有 ∫
2
t+2
f(χ)dχ=∫
0
t
f(s+2)ds=∫
0
t
f(s)ds=-∫
t
0
f(χ)dχ 所以∫
t
t+2
f(χ)dχ=∫
t
0
f(χ)dχ+∫
0
2
f(χ)dχ-∫
t
0
f(χ)dχ=∫
0
2
f(χ)dχ (Ⅱ)由于∫
t
t+2
f(s)ds-∫
0
2
f(s)ds 记∫
0
2
f(s)ds=a 则G(χ)=2∫
0
χ
f(t)dt-aχ 因为对任意的χ, G(χ+2)-G(χ)=2∫
0
χ+2
f(t)dt-a(χ+2)-2∫
0
χ
f(t)dt+aχ =2∫
χ
χ+2
f(t)dt-2a=2∫
0
2
f(t)dt-2a=0, 所以,G(χ)是周期为2的周期函数.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/OSx4777K
0
考研数学三
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