2. 考研
  3. (08年)设f(χ)是周期为2的连续函数． (Ⅰ)证明对任意的实数t，有∫tt+2f(χ)dχ＝∫02f(χ)dχ； (Ⅱ)证明G(χ)＝∫0χ[2f(t)－∫tt+2f(s)ds]dt是周期为2的周期函数．

(08年)设f(χ)是周期为2的连续函数． (Ⅰ)证明对任意的实数t，有∫tt+2f(χ)dχ＝∫02f(χ)dχ； (Ⅱ)证明G(χ)＝∫0χ[2f(t)－∫tt+2f(s)ds]dt是周期为2的周期函数．

admin2021-01-25  105
问题 (08年)设f(χ)是周期为2的连续函数．
    (Ⅰ)证明对任意的实数t，有∫tt+2f(χ)dχ＝∫02f(χ)dχ；
    (Ⅱ)证明G(χ)＝∫0χ[2f(t)－∫tt+2f(s)ds]dt是周期为2的周期函数．
选项
答案(Ⅰ)由积分的性质知，对任意的实数t， ∫tt+2f(χ)dχ＝∫t0f(χ)dχ＋∫02f(χ)dχ＋∫2t+2f(χ)dχ 令s＝χ－2，则有 ∫2t+2f(χ)dχ＝∫0tf(s＋2)ds＝∫0tf(s)ds＝－∫t0f(χ)dχ 所以∫tt+2f(χ)dχ＝∫t0f(χ)dχ＋∫02f(χ)dχ－∫t0f(χ)dχ＝∫02f(χ)dχ (Ⅱ)由于∫tt+2f(s)ds－∫02f(s)ds 记∫02f(s)ds＝a 则G(χ)＝2∫0χf(t)dt－aχ 因为对任意的χ， G(χ＋2)－G(χ)＝2∫0χ＋2f(t)dt－a(χ＋2)－2∫0χf(t)dt＋aχ ＝2∫χχ＋2f(t)dt－2a＝2∫02f(t)dt－2a＝0， 所以，G(χ)是周期为2的周期函数．
解析
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考研数学三

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