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(08年)设f(χ)是周期为2的连续函数． (Ⅰ)证明对任意的实数t，有∫tt+2f(χ)dχ＝∫02f(χ)dχ； (Ⅱ)证明G(χ)＝∫0χ[2f(t)－∫tt+2f(s)ds]dt是周期为2的周期函数．
(08年)设f(χ)是周期为2的连续函数． (Ⅰ)证明对任意的实数t，有∫tt+2f(χ)dχ＝∫02f(χ)dχ； (Ⅱ)证明G(χ)＝∫0χ[2f(t)－∫tt+2f(s)ds]dt是周期为2的周期函数．
admin
2021-01-25
89
问题
(08年)设f(χ)是周期为2的连续函数．
(Ⅰ)证明对任意的实数t，有∫
t
t+2
f(χ)dχ＝∫
0
2
f(χ)dχ；
(Ⅱ)证明G(χ)＝∫
0
χ
[2f(t)－∫
t
t+2
f(s)ds]dt是周期为2的周期函数．
选项
答案
(Ⅰ)由积分的性质知，对任意的实数t， ∫
t
t+2
f(χ)dχ＝∫
t
0
f(χ)dχ＋∫
0
2
f(χ)dχ＋∫
2
t+2
f(χ)dχ 令s＝χ－2，则有 ∫
2
t+2
f(χ)dχ＝∫
0
t
f(s＋2)ds＝∫
0
t
f(s)ds＝－∫
t
0
f(χ)dχ 所以∫
t
t+2
f(χ)dχ＝∫
t
0
f(χ)dχ＋∫
0
2
f(χ)dχ－∫
t
0
f(χ)dχ＝∫
0
2
f(χ)dχ (Ⅱ)由于∫
t
t+2
f(s)ds－∫
0
2
f(s)ds 记∫
0
2
f(s)ds＝a 则G(χ)＝2∫
0
χ
f(t)dt－aχ 因为对任意的χ， G(χ＋2)－G(χ)＝2∫
0
χ＋2
f(t)dt－a(χ＋2)－2∫
0
χ
f(t)dt＋aχ ＝2∫
χ
χ＋2
f(t)dt－2a＝2∫
0
2
f(t)dt－2a＝0， 所以，G(χ)是周期为2的周期函数．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/OSx4777K
0
考研数学三
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