2. 考研
  3. [2006年] 设三阶实对称矩阵A的各行元素之和为3．向量α1=[－1，2，－1]T，α2=[0，－1，1]T都是齐次线性方程组AX=0的解．求A的特征值和特征向量．

[2006年] 设三阶实对称矩阵A的各行元素之和为3．向量α1=[－1，2，－1]T，α2=[0，－1，1]T都是齐次线性方程组AX=0的解．求A的特征值和特征向量．

admin2021-01-25  118
问题 [2006年]  设三阶实对称矩阵A的各行元素之和为3．向量α1=[－1，2，－1]T，α2=[0，－1，1]T都是齐次线性方程组AX=0的解．求A的特征值和特征向量．
选项
答案由命题2．5．1．3知，三阶矩阵A有一个特征值3，且α3=[1，1，1]T为A的属于特征值3的特征向量． 或由[*]知，3是A的一个特征值，α3=[1，1，1]T为A的属于特征值3的特征向量，则A的属于特征值3的所有特征向量为c1α2，c1为不等于0的任意常数． 又由命题2．5．1．10知，α1，α2是A的属于特征值0的特征向量，或由Aα1=0α1，Aα2= 0α2也可看出这一点，所以A的特征值为3，0，0，且属于λ=0的特征向量为 k1α1+k2α2=k1[－1，2，－1]T+k2[0，－1，1]T (k1，k2为不全为0的常数)． 注：命题2．5．1．1 λ0是矩阵A的特征值当且仅当|λ0E－A|=0． 对于数字型矩阵，常用特征方程|λE-A|=0求其特征值λ． 为求特征值λi所对应的所有特征向量，只需解方程组(λiE－A)X=0． 命题2．5．1．10 设α≠0为An×n=0的解，则α为A的属于特征值0的特征向量．
解析
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考研数学三

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