设f(x)在x=a处n(n≥2)阶可导,且当x→a时f(x)是x-a的n阶无穷小,求证:f(x)的导函数f’(x)当→a时是x-a的a-1阶无穷小.

admin2018-06-27  32

问题 设f(x)在x=a处n(n≥2)阶可导,且当x→a时f(x)是x-a的n阶无穷小,求证:f(x)的导函数f’(x)当→a时是x-a的a-1阶无穷小.

选项

答案f(x)在x=a可展开成 f(x)=f(a)+f’(a)(x-a)+[*]f’’(a)(x-a)2+…+[*]f(n)(a)(x-a)n+o((x-a)n)(x→a). 由x→a时f(x)是(x-a)的n阶无穷小[*] (a)=f’(a)=…=f(n-1)(a)=0,f(n)(a)≠0. 又f(x)在x=a邻域(n-1)阶可导,f(n-1)(x)在x=a可导. 由g(x)=f’(x)在x=a处n-1阶可导[*] g(x)=g(a)+g’(a)(x-a)+…+[*]g(n-1)(a)(x-a)n-1+o((x-a)n-1), 即f’(x)=f’(a)+f’’(a)(x-a)+…+[*]f(n)(a)(x-a)n-1+o((x-a)n-1) =[*]f(n)(a)(x-a)n-1+o((x-a)n-1). 因此f’(x)是x-a的n-1阶无穷小(x→a).

解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Opk4777K
0

最新回复(0)