设fn(x)=1一(1一cos x)n，求证：对于任意正整数n，中仅有一根；

admin2015-07-22 59

问题设f_n(x)=1一(1一cos x)ⁿ，求证：
对于任意正整数n，

中仅有一根；

选项

答案(1)因为f_n(x)连续，又有f_n(0)=1． [*]，所以由介值定理知[*]使得f_n(ξ)=[*]又因为为f’_n(x)=-n(1一cos x)^n-1sin x＜0， [*]，所以f_n(x)在[*]内严格单调减少。因此，满足方程f_n(x)=[*]的根ξ是唯一的，即f_n(x)=[*]中仅有一根．

解析

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求一曲线的方程，这曲线过原点，并且它在点(x，y)处的切线斜率等于2x＋y。
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