(02年)设A，B为同阶方阵， (1)如果A，B相似，试证A，B的特征多项式相等． (2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立． (3)当A，B均为实对称矩阵时，试证(1)的逆命题成立．

admin2017-04-20 39

问题 (02年)设A，B为同阶方阵，
(1)如果A，B相似，试证A，B的特征多项式相等．
(2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立．
(3)当A，B均为实对称矩阵时，试证(1)的逆命题成立．

选项

答案(1)由A，B相似知，存在可逆方阵P，使P^-1AP=B，故 |λE一B|=|λE-P^-1AP|=|P^-1λEP—P^-1AP| =|P^-1(λE一A)P|=|P^-1||λE一A||P| =|P^-1||P||λE一A|=|λE一A| [*] |λE-A|=λ²=|λE-B| 但A，B不相似．否则，存在可逆矩阵P，使 P^-1
解析

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考研数学一

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