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设D0是单连通区域,点M0∈D0,D=D0\{M0}(即D是单连通区域D0除去一个点M0),若p(x,y),Q(x,y)在D有连续的一阶偏导数且((x,y)∈D),问: (Ⅰ)∫LPdx+Qdy是否一定在D上与路径无关; (Ⅱ)若又存在一条环绕M0的分段光
设D0是单连通区域,点M0∈D0,D=D0\{M0}(即D是单连通区域D0除去一个点M0),若p(x,y),Q(x,y)在D有连续的一阶偏导数且((x,y)∈D),问: (Ⅰ)∫LPdx+Qdy是否一定在D上与路径无关; (Ⅱ)若又存在一条环绕M0的分段光
admin
2016-10-26
68
问题
设D
0
是单连通区域,点M
0
∈D
0
,D=D
0
\{M
0
}(即D是单连通区域D
0
除去一个点M
0
),若p(x,y),Q(x,y)在D有连续的一阶偏导数且
((x,y)∈D),问:
(Ⅰ)∫
L
Pdx+Qdy是否一定在D上与路径无关;
(Ⅱ)若又存在一条环绕M
0
的分段光滑闭曲线C
0
使得∫
C
0
Pdx+Qdy=0,∫
L
Pdx+Qdy)是否一定在D上与路径无关.
选项
答案
(Ⅰ)这里D不是单连通区域,所以不能肯定积分∫
L
PdX+Qdy在D上与路径无关.例如:积分[*],由于P(x,y)=[*]则 [*] 即在全平面除原点外P(x,y),Q(x,y)均有连续的一阶偏导数,且[*]. 但若取L为C
+
即逆时针方向的以原点为圆心的单位圆周,则 [*][-sinθ(cosθ)′+cosθ(sinθ)′]dθ=2π≠0, 因此,该积分不是与路径无关. (Ⅱ)能肯定积分在D上与路径无关.按挖去奇点的思路,我们作以M
0
为心,ε>0为半径的圆周C
ε
,使C
ε
在C
0
所围区域内.C
ε
和C
ε
所围区域记为D
ε
(见图10.10).在D
ε
上用格林公式得 [*] [*] 其中C
0
,C
ε
均是逆时针方向.所以 [*] 因此,ε>0充分小,只要C
ε
在C
0
所围区域内,均有 [*]Pdx+Qdy=0.① 现在我们可证:对D内任意分段光滑闭曲线C,均有 ∮
C
Pdx+Qdy=o. ② 若C不包围M
0
,在C所围的区域上用格林公式,立即可得②式成立.若C包围M
0
点,则可作以M
0
为心,ε>0为半径的小圆周C
ε
,使得C
ε
在C所围区域内且①成立.在C与C
ε
所围的区域上用格林公式同理可证 ∫
C
Pdx+Qdy=[*]Pdx+Qdy=0.
解析
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0
考研数学一
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