设D0是单连通区域,点M0∈D0,D=D0\{M0}(即D是单连通区域D0除去一个点M0),若p(x,y),Q(x,y)在D有连续的一阶偏导数且((x,y)∈D),问: (Ⅰ)∫LPdx+Qdy是否一定在D上与路径无关; (Ⅱ)若又存在一条环绕M0的分段光

admin2016-10-26  31

问题 设D0是单连通区域,点M0∈D0,D=D0\{M0}(即D是单连通区域D0除去一个点M0),若p(x,y),Q(x,y)在D有连续的一阶偏导数且((x,y)∈D),问:
(Ⅰ)∫LPdx+Qdy是否一定在D上与路径无关;
(Ⅱ)若又存在一条环绕M0的分段光滑闭曲线C0使得∫C0Pdx+Qdy=0,∫LPdx+Qdy)是否一定在D上与路径无关.

选项

答案(Ⅰ)这里D不是单连通区域,所以不能肯定积分∫LPdX+Qdy在D上与路径无关.例如:积分[*],由于P(x,y)=[*]则 [*] 即在全平面除原点外P(x,y),Q(x,y)均有连续的一阶偏导数,且[*]. 但若取L为C+即逆时针方向的以原点为圆心的单位圆周,则 [*][-sinθ(cosθ)′+cosθ(sinθ)′]dθ=2π≠0, 因此,该积分不是与路径无关. (Ⅱ)能肯定积分在D上与路径无关.按挖去奇点的思路,我们作以M0为心,ε>0为半径的圆周Cε,使Cε在C0所围区域内.Cε和Cε所围区域记为Dε(见图10.10).在Dε上用格林公式得 [*] [*] 其中C0,Cε均是逆时针方向.所以 [*] 因此,ε>0充分小,只要Cε在C0所围区域内,均有 [*]Pdx+Qdy=0.① 现在我们可证:对D内任意分段光滑闭曲线C,均有 ∮CPdx+Qdy=o. ② 若C不包围M0,在C所围的区域上用格林公式,立即可得②式成立.若C包围M0点,则可作以M0为心,ε>0为半径的小圆周Cε,使得Cε在C所围区域内且①成立.在C与Cε所围的区域上用格林公式同理可证 ∫CPdx+Qdy=[*]Pdx+Qdy=0.

解析
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