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设α,β为n维单位列向量,P是n阶可逆矩阵,则下列方程组中,只有零解的是 ( )
设α,β为n维单位列向量,P是n阶可逆矩阵,则下列方程组中,只有零解的是 ( )
admin
2014-04-23
21
问题
设α,β为n维单位列向量,P是n阶可逆矩阵,则下列方程组中,只有零解的是 ( )
选项
A、(E一αα
T
)x=0.
B、(α
T
PαP
-1
一αα
T
)x=0.
C、(α
T
P
-1
βP一βα
T
)x=0.
D、(E+ββ
T
)x=0.
答案
D
解析
法一 因Ax=(E一αα
T
)x=0,当x=α≠0时,有 (E一αα
T
)α=α一α(α
T
α)=0(其中α
T
α=1),故排除A.因Bx=(α
T
PαP
-1
一αα
T
)x=0,当x=Pα≠0时,有 (α
T
Pα
-1
一αα
T
)Pα=(α
T
Pα)α=α(α
T
α)=0.故排除B.因Cx=(α
T
P
-1
βP一βα
T
)x=0,取x=P
-1
β≠0,有 (α
T
P
-1
β)β一β(α
T
P
-1
β)=0,故排除C.由排除法,故应选D.法二由题设条件,对任意的n维单位列向量α,β,任意的n阶可逆阵P,方程组均只有零解,若取特殊的α,β,P,使方程组有非零解,则该选项即可排除.如对A取α=[1,0,0]
T
,则
有非零解.对B取α=[1,0,0]
T
,P=E;对C取α=β=[1,0,0]
T
,P=E.即可排除B,C,故应选D.
法二 对矩阵D=E+ββ
T
,有D
2
=(E+ββ
T
)
2
=E+2ββ
T
+ββ
T
ββ
T
(其中β
T
β=1)=E+3ββ
T
=3(E+ββ
T
)2E=3D-2E,D
2
-3D=D(D-3E)=-2E.故D可逆,且
故方程组Dx=(E+ββ
T
)x=0只有零解,故应选D.法四 或设β=[b
1
,b
2
,…,b
n
]
T
,
故(E+ββ
T
)x=0只有零解,故应选D.
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