设α,β为n维单位列向量,P是n阶可逆矩阵,则下列方程组中,只有零解的是 ( )

admin2014-04-23  28

问题 设α,β为n维单位列向量,P是n阶可逆矩阵,则下列方程组中,只有零解的是    (    )

选项 A、(E一ααT)x=0.   
B、(αTPαP-1一ααT)x=0.
C、(αTP-1βP一βαT)x=0.   
D、(E+ββT)x=0.

答案D

解析 法一  因Ax=(E一ααT)x=0,当x=α≠0时,有 (E一ααT)α=α一α(αTα)=0(其中αTα=1),故排除A.因Bx=(αTPαP-1一ααT)x=0,当x=Pα≠0时,有 (αT-1一ααT)Pα=(αTPα)α=α(αTα)=0.故排除B.因Cx=(αTP-1βP一βαT)x=0,取x=P-1β≠0,有 (αTP-1β)β一β(αTP-1β)=0,故排除C.由排除法,故应选D.法二由题设条件,对任意的n维单位列向量α,β,任意的n阶可逆阵P,方程组均只有零解,若取特殊的α,β,P,使方程组有非零解,则该选项即可排除.如对A取α=[1,0,0]T,则有非零解.对B取α=[1,0,0]T,P=E;对C取α=β=[1,0,0]T,P=E.即可排除B,C,故应选D.
法二  对矩阵D=E+ββT,有D2=(E+ββT)2=E+2ββT+ββTββT(其中βTβ=1)=E+3ββT=3(E+ββT)2E=3D-2E,D2-3D=D(D-3E)=-2E.故D可逆,且故方程组Dx=(E+ββT)x=0只有零解,故应选D.法四  或设β=[b1,b2,…,bn]T故(E+ββT)x=0只有零解,故应选D.
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