2. 公务员
  3. 对于数列{xn}，从中选取若干项，不改变它们在原来数列中的先后次序，得到的数列称为原来数列的一个子数列，某同学在学习了这一个概念之后，打算研究首项为a1，公差为d的无穷等差数列的子数列{an}问题，为此，他取了其中第一项口a1，第三项a3和第五项a5、

对于数列{xn}，从中选取若干项，不改变它们在原来数列中的先后次序，得到的数列称为原来数列的一个子数列，某同学在学习了这一个概念之后，打算研究首项为a1，公差为d的无穷等差数列的子数列{an}问题，为此，他取了其中第一项口a1，第三项a3和第五项a5、

admin2019-12-10  80
问题 对于数列{xn}，从中选取若干项，不改变它们在原来数列中的先后次序，得到的数列称为原来数列的一个子数列，某同学在学习了这一个概念之后，打算研究首项为a1，公差为d的无穷等差数列的子数列{an}问题，为此，他取了其中第一项口a1，第三项a3和第五项a5、
在a1=1，d=3的无穷等差数列{an}中，是否存在无穷子数列{bn)，使得数列{bn}为首项为a1，公比为4的等比数列?若存在，请给出数列{bn}的通项公式并证明；若不存在，说明理由．
选项
答案由题意可得，此时原无穷等差数列的通项公式为an=3n-2， 假设存在数列{bn}满足条件，则其通项公式为bn=a1qn-1=4n-1， 又因为数列{bn}是数列{an}的子数列，故数列{bn}中的每一项都应符合数列{an}的通项公式， 故4k-1=3n-2，即[*]． 又因为，n∈N+，故原题目转化为证明对于[*]，4k-1+2均能被3整除， 当k=1时，4k-1+2=1+2=3，能被3整除， 当k≥2，且k∈N+时， [*] 所以4k-1+2能被3整除， 故对于[*]均能被3整除． 所以无穷数列{bn}是无穷数列{an}的子数列． 所以在a1=1，d=3的无穷等差数列{an}中，存在无穷子数列{bn}，使得数列{bn)为首项为a1，公比为4的等比数列．
解析
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