已知A是n阶矩阵，α1，α2，…，αs是n维线性无关向量组，若Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关，证明：A不可逆．

admin2018-08-22 37

问题已知A是n阶矩阵，α₁，α₂，…，α_s是n维线性无关向量组，若Aα₁，Aα₂，…，Aα_s线性相关，证明：A不可逆．

选项

答案因Aα₁，Aα₂，…，Aα_s线性相关，故存在不全为零的数k₁，k₂，…，k_s，使得 k₁Aα₁+k₂Aα₂+…+k_sAα_s=0，即 A(k₁α₁+k₂α₂+…+k_sα_s)=Aξ=0，其中ξ=k₁α₁+k₂α₂+…+k_sα_s，因已知α₁，α₂，…，α_s线性无关，对任意不全为零的数k₁，k₂，…，k_s，有 ξ=k₁α₁+k₂α₂+…+k_sα_s≠0 而 Aξ=0．说明线性方程组AX=0有非零解，从而|A|=0，即A是不可逆矩阵．

解析

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考研数学二

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与α1=[1，2，3，一1]T，α2=[0，1，1，2]T，α3=[2，1，3，0]T都正交的单位向量是______．
设A，B，C为常数，B2一AC＞0，A≠0．u(x，y)具有二阶连续偏导数，试证明：必存在非奇异线性变换ξ=λ1x+y，η=λ2x+y(λ1，λ2为常数)，
函数u=arcsin的定义域为________．
顶角为60°，底圆半径为a的正圆锥形漏斗内盛满水，下接底圆半径为b(b＜a)的圆柱形水桶(假设水桶的体积大于漏斗的体积)，水由漏斗注入水桶，问当漏斗水平面下降速度与水桶水平面上升速度相等时，漏斗中水平面高度是多少?
求下列积分：
设A是三阶实矩阵，λ1，λ2，λ3是A的三个不同的特征值，ξ1，ξ2，ξ3是三个对应的特征向量，证明：当λ2λ3≠0时，向量组ξ1，A(ξ1+ξ2)，A2(ξ1+ξ2+ξ3)线性无关．
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