设ψ(x)在[a，b]上连续，且ψ(x)＞0，则函数y=φ(x)=∫ab|x一t|ψ(t)dt的图形 ( )

admin2015-08-14 111

问题设ψ(x)在[a，b]上连续，且ψ(x)＞0，则函数y=φ(x)=∫_a^b|x一t|ψ(t)dt的图形 ( )

选项 A、在(a，b)内为凸
B、在(a，b)内为凹
C、在(a，b)内有拐点
D、在(a，b)内有间断点

答案B

解析先将φ(x)利用|x—t|的分段性分解变形，有 φ(x)=∫_a^x(x一t)ψ(t)dt+∫_x^b(t一x)ψ(t)dt=s∫_a^xψ(t)dt一∫_a^xtψ(t)dt+∫_x^btψ(t)dt—x∫_x^bψ(t)dt．
因为ψ(t)在[a，b]上连续，所以φ(x)可导，因而答案不可能是(D)．为讨论其余三个选项，只需求出φ"(x)，讨论φ"(x)在(a，b)内的符号即可．因
φ’(x)=∫_a^xψ(t)dt一∫_x^bψ(t)dt，
φ"(x)=2ψ(x)＞0，x∈[a，b]，故y=φ(x)的图形为凹．直选(B)．

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