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  3. 设在[0，+∞)上函数f(x)有连续导数，且f’(x)≥k＞0，f(0)＜0，证明f(x)在(0，+∞)内有且仅有一个零点．

设在[0，+∞)上函数f(x)有连续导数，且f’(x)≥k＞0，f(0)＜0，证明f(x)在(0，+∞)内有且仅有一个零点．

admin2015-09-10  44
问题 设在[0，+∞)上函数f(x)有连续导数，且f’(x)≥k＞0，f(0)＜0，证明f(x)在(0，+∞)内有且仅有一个零点．
选项
答案在[0，+∞)上，由f’(x)≥k，得[*] 即f(x)≥kx+f(0)．取x1＞[*]＞0，有f(x1)＞[*]=0．因f(x1)＞0，由题设f(0)＜0，则[*]x0∈(0，x1)使f(x0)=0． 又f’(x)≥k＞0，故f(x)严格单调增，所以f(x)在(0，+∞)内有且仅有一个零点．
解析
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考研数学一

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