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设在[0,+∞)上函数f(x)有连续导数,且f’(x)≥k>0,f(0)<0,证明f(x)在(0,+∞)内有且仅有一个零点.
设在[0,+∞)上函数f(x)有连续导数,且f’(x)≥k>0,f(0)<0,证明f(x)在(0,+∞)内有且仅有一个零点.
admin
2015-09-10
74
问题
设在[0,+∞)上函数f(x)有连续导数,且f’(x)≥k>0,f(0)<0,证明f(x)在(0,+∞)内有且仅有一个零点.
选项
答案
在[0,+∞)上,由f’(x)≥k,得[*] 即f(x)≥kx+f(0).取x
1
>[*]>0,有f(x
1
)>[*]=0.因f(x
1
)>0,由题设f(0)<0,则[*]x
0
∈(0,x
1
)使f(x
0
)=0. 又f’(x)≥k>0,故f(x)严格单调增,所以f(x)在(0,+∞)内有且仅有一个零点.
解析
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考研数学一
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