设在[0，+∞)上函数f(x)有连续导数，且f’(x)≥k＞0，f(0)＜0，证明f(x)在(0，+∞)内有且仅有一个零点．

admin2015-09-10 46

问题设在[0，+∞)上函数f(x)有连续导数，且f’(x)≥k＞0，f(0)＜0，证明f(x)在(0，+∞)内有且仅有一个零点．

选项

答案在[0，+∞)上，由f’(x)≥k，得[*] 即f(x)≥kx+f(0)．取x₁＞[*]＞0，有f(x₁)＞[*]=0．因f(x₁)＞0，由题设f(0)＜0，则[*]x₀∈(0，x₁)使f(x₀)=0．又f’(x)≥k＞0，故f(x)严格单调增，所以f(x)在(0，+∞)内有且仅有一个零点．

解析

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