设在[0,+∞)上函数f(x)有连续导数,且f’(x)≥k>0,f(0)<0,证明f(x)在(0,+∞)内有且仅有一个零点.

admin2015-09-10  26

问题 设在[0,+∞)上函数f(x)有连续导数,且f’(x)≥k>0,f(0)<0,证明f(x)在(0,+∞)内有且仅有一个零点.

选项

答案在[0,+∞)上,由f’(x)≥k,得[*] 即f(x)≥kx+f(0).取x1>[*]>0,有f(x1)>[*]=0.因f(x1)>0,由题设f(0)<0,则[*]x0∈(0,x1)使f(x0)=0. 又f’(x)≥k>0,故f(x)严格单调增,所以f(x)在(0,+∞)内有且仅有一个零点.

解析
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