设函数f(x)在x=2的某邻域内可导，且fˊ(x)=ef(x)，f(2)=1，计算f(n)(2)．

admin2016-09-13 25

问题设函数f(x)在x=2的某邻域内可导，且fˊ(x)=e^f(x)，f(2)=1，计算f⁽ⁿ⁾(2)．

选项

答案由fˊ(x)=e^f(x)两边求导数得 fˊˊ(x)=e^f(x)fˊ(x)=e^2f(x)，两边再求导数得 fˊˊˊ(x)=e^2f(x)2fˊ(x)=2e^3f(x)，两边再求导数得 f⁽⁴⁾(x)=2e^3f(x)3fˊ(x)=3！e^4f(x)，由以上规律可得n阶导数 f⁽ⁿ⁾(x)=(n－1)！e^nf(x)，所以f⁽ⁿ⁾(2)=(n－1)！eⁿ．

解析

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