2. 考研
  3. 已知函数f(x，y)满足 f”xy(x，y)=2(y+1)ex，f’x(x，0)=(x+1)ex，f(0，y)=y2+2y， 求f(x，y)的极值．

已知函数f(x，y)满足 f”xy(x，y)=2(y+1)ex，f’x(x，0)=(x+1)ex，f(0，y)=y2+2y， 求f(x，y)的极值．

admin2022-09-22  42
问题 已知函数f(x，y)满足
    f”xy(x，y)=2(y+1)ex，f’x(x，0)=(x+1)ex，f(0，y)=y2+2y，
    求f(x，y)的极值．
选项
答案f”xy(x，y)=2(y+1)ex两边对y积分，得 f’x(x，y)=2([*]y2+y)ex+φ(x)=(y2+2y)ex+φ(名)． 由f’x(x，0)=(x+1)ex，可得φ(x)=ex(x+1)，则f’x(x，y)=(y2+2y)ex+ex(1+x)． 将上式两边关于x积分，得 f(x，y)=(y2+2y)ex+∫ex(1+x)dx =(y2+2y)ex+∫(1+x)dex =(y2+2y)ex+(1+x)ex-∫exdx =(y2+2y)ex+(1+x)ex-ex+C =(y2+2y)ex+xex+C． 由f(0，y)=y2+2y，可得C=0．因此 f(x，y)=(y2+2y)ex+xex． 令[*]解得唯一驻点为(0，-1)． 又f”xx=(y2+2y)ex+2ex+xex，f”xy=2(y+1)ex，f”yy=2ex， 则在(0，-1)处， A=f”xx｜(0，-1)=1，B=f”xy｜(0，-1)=0，C=f”yy｜(0，-1)=2． 由于AC-B2=2＞0，A＞0， 因此f(x，y)在点(0，-1)处取得极小值，极小值为f(0，-1)=-1．
解析
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考研数学二

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