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已知函数f(x，y)满足 f”xy(x，y)=2(y+1)ex，f’x(x，0)=(x+1)ex，f(0，y)=y2+2y， 求f(x，y)的极值．
已知函数f(x，y)满足 f”xy(x，y)=2(y+1)ex，f’x(x，0)=(x+1)ex，f(0，y)=y2+2y， 求f(x，y)的极值．
admin
2022-09-22
39
问题
已知函数f(x，y)满足
f”
xy
(x，y)=2(y+1)e
x
，f’
x
(x，0)=(x+1)e
x
，f(0，y)=y
2
+2y，
求f(x，y)的极值．
选项
答案
f”
xy
(x，y)=2(y+1)e
x
两边对y积分，得 f’
x
(x，y)=2([*]y
2
+y)e
x
+φ(x)=(y
2
+2y)e
x
+φ(名)． 由f’
x
(x，0)=(x+1)e
x
，可得φ(x)=e
x
(x+1)，则f’
x
(x，y)=(y
2
+2y)e
x
+e
x
(1+x)． 将上式两边关于x积分，得 f(x，y)=(y
2
+2y)e
x
+∫e
x
(1+x)dx =(y
2
+2y)e
x
+∫(1+x)de
x
=(y
2
+2y)e
x
+(1+x)e
x
-∫e
x
dx =(y
2
+2y)e
x
+(1+x)e
x
-e
x
+C =(y
2
+2y)e
x
+xe
x
+C． 由f(0，y)=y
2
+2y，可得C=0．因此 f(x，y)=(y
2
+2y)e
x
+xe
x
． 令[*]解得唯一驻点为(0，-1)． 又f”
xx
=(y
2
+2y)e
x
+2e
x
+xe
x
，f”
xy
=2(y+1)e
x
，f”
yy
=2e
x
， 则在(0，-1)处， A=f”
xx
｜
(0，-1)
=1，B=f”
xy
｜
(0，-1)
=0，C=f”
yy
｜
(0，-1)
=2． 由于AC-B
2
=2＞0，A＞0， 因此f(x，y)在点(0，-1)处取得极小值，极小值为f(0，-1)=-1．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/PJf4777K
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