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已知函数f(x,y)满足 f”xy(x,y)=2(y+1)ex,f’x(x,0)=(x+1)ex,f(0,y)=y2+2y, 求f(x,y)的极值.
已知函数f(x,y)满足 f”xy(x,y)=2(y+1)ex,f’x(x,0)=(x+1)ex,f(0,y)=y2+2y, 求f(x,y)的极值.
admin
2022-09-22
41
问题
已知函数f(x,y)满足
f”
xy
(x,y)=2(y+1)e
x
,f’
x
(x,0)=(x+1)e
x
,f(0,y)=y
2
+2y,
求f(x,y)的极值.
选项
答案
f”
xy
(x,y)=2(y+1)e
x
两边对y积分,得 f’
x
(x,y)=2([*]y
2
+y)e
x
+φ(x)=(y
2
+2y)e
x
+φ(名). 由f’
x
(x,0)=(x+1)e
x
,可得φ(x)=e
x
(x+1),则f’
x
(x,y)=(y
2
+2y)e
x
+e
x
(1+x). 将上式两边关于x积分,得 f(x,y)=(y
2
+2y)e
x
+∫e
x
(1+x)dx =(y
2
+2y)e
x
+∫(1+x)de
x
=(y
2
+2y)e
x
+(1+x)e
x
-∫e
x
dx =(y
2
+2y)e
x
+(1+x)e
x
-e
x
+C =(y
2
+2y)e
x
+xe
x
+C. 由f(0,y)=y
2
+2y,可得C=0.因此 f(x,y)=(y
2
+2y)e
x
+xe
x
. 令[*]解得唯一驻点为(0,-1). 又f”
xx
=(y
2
+2y)e
x
+2e
x
+xe
x
,f”
xy
=2(y+1)e
x
,f”
yy
=2e
x
, 则在(0,-1)处, A=f”
xx
|
(0,-1)
=1,B=f”
xy
|
(0,-1)
=0,C=f”
yy
|
(0,-1)
=2. 由于AC-B
2
=2>0,A>0, 因此f(x,y)在点(0,-1)处取得极小值,极小值为f(0,-1)=-1.
解析
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