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已知P—1AP=α1是矩阵A属于特征值λ=1的特征向量,α2与α3是矩阵A属于特征值λ=5的特征向量,那么矩阵P不能是( )
已知P—1AP=α1是矩阵A属于特征值λ=1的特征向量,α2与α3是矩阵A属于特征值λ=5的特征向量,那么矩阵P不能是( )
admin
2017-01-21
75
问题
已知P
—1
AP=
α
1
是矩阵A属于特征值λ=1的特征向量,α
2
与α
3
是矩阵A属于特征值λ=5的特征向量,那么矩阵P不能是( )
选项
A、(α
1
一α
2
,α
3
)
B、(α
1
,α
2
+α
3
,α
2
—2α
3
)
C、(α
1
,α
3
,α
2
)
D、(α
1
+α
2
,α
1
—α
2
,α
3
)
答案
D
解析
若P
—1
AP=Λ=
P=(α
1
,α
2
,α
3
),则有AP=PΛ,即
(Aα
1
,Aα
2
,Aα
3
)=(λ
1
α
1
,λ
2
α
2
,λ
3
α
3
),可见α
i
是矩阵A属于特征值λ
i
(i=1,2,3)的特征向量,又因矩阵P可逆,因此α
1
,α
2
,α
3
线性无关。
若α是属于特征值λ的特征向量,则—α仍是属于特征值λ的特征向量,故选项A正确。
若α,β是属于特征值λ的特征向量,则α与β的线性组合仍是属于特征值λ的特征向量。本题中,α
2
,α
3
是属于λ=5的线性无关的特征向量,故α
2
+α
3
,α
2
—2α
3
仍是λ=5的特征向量,并且α
2
+α
3
,α
2
—2α
3
线性无关,故选项B正确。
对于选项C,因为α
2
,α
3
均是λ=5的特征向量,所以α
2
与α
3
谁在前谁在后均正确。故选项C正确。
由于α
1
,α
2
是不同特征值的特征向量,因此α
1
+α
2
,α
1
—α
2
不再是矩阵A的特征向量,故选项D错误。所以应选D。
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