设二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x33+2ax1x2+2x1x3+2bx2x3的秩为1，且(0，1，一1)T是二次型矩阵的特征向量，求正交变换x=Qy，把二次型化为标准形f(x1，x2，x3)；

admin2017-02-13 77

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)=x₁²+x₂²+x₃³+2ax₁x₂+2x₁x₃+2bx₂x₃的秩为1，且(0，1，一1)^T是二次型矩阵的特征向量，
求正交变换x=Qy，把二次型化为标准形f(x₁，x₂，x₃)；

选项

答案A=[*]，特征值为0，0，3。解线性方程组Ax=0得α₁=[*]，α₂=[*]，正交化得 β₁=α₁=[*]， β₁=α₁－[*]，单位化得ξ₁=[*]，解线性方程组(A-3E)x=0得α₃=[*]，单位化得ξ₃=[*]。 Q=[*]。令x=Qy可将二次型化为f=3y₃²。

解析

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考研数学三

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