已知矩阵A＝，试求Ak．

admin2020-06-05 41

问题已知矩阵A＝

，试求A^k．

选项

答案方法一由A＝[*] 可求得A²＝[*] ，A³＝[*]，观察这些矩阵的规律可知，A²的第1行元素是(λ＋1)²展开式的三项元素，而A³的第1行元素是(λ＋1)³展开式的前三项．由此推测A^k的第1行元素应是(λ＋1)^l的展开式的前三项元素：λ^k，kλ^k－1，[*]．假设 [*] 则A^k+1＝A^k·A[*] 即A的幂次为k＋1时结论成立，故由归纳法的假设知上述结论正确．方法二将矩阵A分解为 A＝[*]＝λE+H 其中H＝[*]，可以验证矩阵H满足H²＝[*]，H³＝H⁴＝…＝0，且(λE)H＝λH＝H(λE)，即λE与H可交换，故由二项式展开公式得 A^k＝(λE＋H)^k＝(λE)^k＋C_k¹(λE)^k-1H＋C_k²(λE)^k-2H²＝λ^kE＋kλ^k-1H＋[*]

解析

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考研数学一

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