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考研
已知矩阵A=,试求Ak.
已知矩阵A=,试求Ak.
admin
2020-06-05
40
问题
已知矩阵A=
,试求A
k
.
选项
答案
方法一 由A=[*] 可求得A
2
=[*] ,A
3
=[*],观察这些矩阵的规律可知,A
2
的第1行元素是(λ+1)
2
展开式的三项元素,而A
3
的第1行元素是(λ+1)
3
展开式的前三项.由此推测A
k
的第1行元素应是(λ+1)
l
的展开式的前三项元素:λ
k
,kλ
k-1
,[*].假设 [*] 则A
k+1
=A
k
·A[*] 即A的幂次为k+1时结论成立,故由归纳法的假设知上述结论正确. 方法二 将矩阵A分解为 A=[*]=λE+H 其中H=[*],可以验证矩阵H满足H
2
=[*],H
3
=H
4
=…=0,且(λE)H=λH=H(λE),即λE与H可交换,故由二项式展开公式得 A
k
=(λE+H)
k
=(λE)
k
+C
k
1
(λE)
k-1
H+C
k
2
(λE)
k-2
H
2
=λ
k
E+kλ
k-1
H+[*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/PVv4777K
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考研数学一
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