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已知矩阵A＝，试求Ak．

admin2020-06-05  25
问题 已知矩阵A＝，试求Ak．
选项
答案方法一 由A＝[*] 可求得A2＝[*] ，A3＝[*]，观察这些矩阵的规律可知，A2的第1行元素是(λ＋1)2展开式的三项元素，而A3的第1行元素是(λ＋1)3展开式的前三项．由此推测Ak的第1行元素应是(λ＋1)l的展开式的前三项元素：λk，kλk－1，[*]．假设 [*] 则Ak+1＝Ak·A[*] 即A的幂次为k＋1时结论成立，故由归纳法的假设知上述结论正确． 方法二 将矩阵A分解为 A＝[*]＝λE+H 其中H＝[*]，可以验证矩阵H满足H2＝[*]，H3＝H4＝…＝0，且(λE)H＝λH＝H(λE)，即λE与H可交换，故由二项式展开公式得 Ak＝(λE＋H)k＝(λE)k＋Ck1(λE)k-1H＋Ck2(λE)k-2H2＝λkE＋kλk-1H＋[*]
解析
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考研数学一

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