若函数f(x,y)对任意正实数t,满足 f(tx,ty)=tnf(x,y), (*) 称f(x,y)为n次齐次函数.设f(x,y)是可微函数,证明:f(x,y)为n次齐次函数 =nf(x,y). (**)

admin2019-05-14  22

问题 若函数f(x,y)对任意正实数t,满足
f(tx,ty)=tnf(x,y),     (*)
称f(x,y)为n次齐次函数.设f(x,y)是可微函数,证明:f(x,y)为n次齐次函数
=nf(x,y).     (**)

选项

答案设f(x,y)是n次齐次函数,按定义,得 f(tx,ty)=tnf(x,y)([*]t>0)为恒等式.将该式两端对t求导,得 xf’1(tx,ty)+yf’2(tx,ty)=ntn-1f(x,y)([*]t>0), 令t=1,则xf’x(x,y)+yf’y(x,y)=nf(x,y). 现设上式成立.考察φ(t)=f(tx,ty)/tn ([*]t>0),由复合函数求导法则可得 φ’(t)=1/tn[xf’1(tx,ty)+yf’2(tx,ty)]-[*]f(tx,ty) =1/tn+1[txf’1(tx,ty)+tyf’2(tx,ty)-nf(tx,ty)]=0, 即φ(t)为常数,φ(t)=φ(1)=f(x,y),即f(tx,ty)=tnf(x,y).

解析
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