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若函数f(x,y)对任意正实数t,满足 f(tx,ty)=tnf(x,y), (*) 称f(x,y)为n次齐次函数.设f(x,y)是可微函数,证明:f(x,y)为n次齐次函数 =nf(x,y). (**)
若函数f(x,y)对任意正实数t,满足 f(tx,ty)=tnf(x,y), (*) 称f(x,y)为n次齐次函数.设f(x,y)是可微函数,证明:f(x,y)为n次齐次函数 =nf(x,y). (**)
admin
2019-05-14
56
问题
若函数f(x,y)对任意正实数t,满足
f(tx,ty)=t
n
f(x,y), (*)
称f(x,y)为n次齐次函数.设f(x,y)是可微函数,证明:f(x,y)为n次齐次函数
=nf(x,y). (**)
选项
答案
设f(x,y)是n次齐次函数,按定义,得 f(tx,ty)=t
n
f(x,y)([*]t>0)为恒等式.将该式两端对t求导,得 xf’
1
(tx,ty)+yf’
2
(tx,ty)=nt
n-1
f(x,y)([*]t>0), 令t=1,则xf’
x
(x,y)+yf’
y
(x,y)=nf(x,y). 现设上式成立.考察φ(t)=f(tx,ty)/t
n
([*]t>0),由复合函数求导法则可得 φ’(t)=1/t
n
[xf’
1
(tx,ty)+yf’
2
(tx,ty)]-[*]f(tx,ty) =1/t
n+1
[txf’
1
(tx,ty)+tyf’
2
(tx,ty)-nf(tx,ty)]=0, 即φ(t)为常数,φ(t)=φ(1)=f(x,y),即f(tx,ty)=t
n
f(x,y).
解析
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考研数学一
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