2. 考研
  3. 若函数f(x，y)对任意正实数t，满足 f(tx，ty)=tnf(x，y)， (*) 称f(x，y)为n次齐次函数．设f(x，y)是可微函数，证明：f(x，y)为n次齐次函数 =nf(x，y)． (**)

若函数f(x，y)对任意正实数t，满足 f(tx，ty)=tnf(x，y)， (*) 称f(x，y)为n次齐次函数．设f(x，y)是可微函数，证明：f(x，y)为n次齐次函数 =nf(x，y)． (**)

admin2019-05-14  19
问题 若函数f(x，y)对任意正实数t，满足
f(tx，ty)=tnf(x，y)，     (*)
称f(x，y)为n次齐次函数．设f(x，y)是可微函数，证明：f(x，y)为n次齐次函数
=nf(x，y)．     (**)
选项
答案设f(x，y)是n次齐次函数，按定义，得 f(tx，ty)=tnf(x，y)([*]t＞0)为恒等式．将该式两端对t求导，得 xf’1(tx，ty)+yf’2(tx，ty)=ntn－1f(x，y)([*]t＞0)， 令t=1，则xf’x(x，y)+yf’y(x，y)=nf(x，y)． 现设上式成立．考察φ(t)=f(tx，ty)／tn ([*]t＞0)，由复合函数求导法则可得 φ’(t)=1／tn[xf’1(tx，ty)+yf’2(tx，ty)]－[*]f(tx，ty) =1／tn+1[txf’1(tx，ty)+tyf’2(tx，ty)－nf(tx，ty)]=0， 即φ(t)为常数，φ(t)=φ(1)=f(x，y)，即f(tx，ty)=tnf(x，y)．
解析
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考研数学一

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