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(2006年)设在上半平面D={(x,y)|>0}内,函数f(x,y)具有连续偏导数,且对任意的t>0都有f(tx,ty)=t-2f(x,y).证明:对D内的任意分段光滑的有向简单闭线L,都有
(2006年)设在上半平面D={(x,y)|>0}内,函数f(x,y)具有连续偏导数,且对任意的t>0都有f(tx,ty)=t-2f(x,y).证明:对D内的任意分段光滑的有向简单闭线L,都有
admin
2018-07-01
16
问题
(2006年)设在上半平面D={(x,y)|>0}内,函数f(x,y)具有连续偏导数,且对任意的t>0都有f(tx,ty)=t
-2
f(x,y).证明:对D内的任意分段光滑的有向简单闭线L,都有
选项
答案
由格林公式知,对D内的任意有向简单闭曲线L, [*] 的充分必要条件是:对任意(x,y)∈D,有 [*] 由于对任意的(x,y)∈D及t>0都有 f(tx,ty)=t
-2
f(x.y) 两边对t求导,得 xf’
1
(tx,ty)+yf’
2
(tx,ty)=一2t
-3
(x,y) 令t=1,得 2f(x,y)+xf’
1
(x,y)+yf’
2
(x,y)=0 即 [*] 所以 [*]
解析
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考研数学一
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